二分图匹配学习笔记

今天遇见了一道二分图匹配的题，毫无疑问，zjq挂了，所以特地学习学习二分图匹配。

定义介绍：

二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集UU 和VV ，使得每一条边都分别连接UU、VV中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

    

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。

下面讲一讲匈牙利算法，给出相关概念：

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的

 

下面给出匈牙利算法的DFS版本：

struct Edge{int from,to,weight;Edge(int f,int t,int w):from(f),to(t),wight(w){}};vector <int> G[max_Nodes]; //邻接表存图vector <Edge> edges;typedef vector <int>::iterator iterator_t;int num_nodes,num_left,num_right,num_edges;int matching[max_Nodes];//存储求解结果int check[max_Nodes];bool dfs(int u){for(iterator_t i = G[u].begin(); i != G[u].end(); ++i){int v = edges[*i].to;if(!check[v])//要求不在增广路中 {check[v] = true;//放入增广路中 if(matching[v] == -1 || dfs(matching[v])){//如果是未盖点说明是交替路为增广路，则交换路径，并返回成功 matching[v] = u;matching[u] = v;return true;}}}return false;//不存在增广路，返回失败  } int hungarian(){int ans = 0;memset(matching,-1,sizeof(matching));for(int u = 0; u < num_left; ++u){if(matching[u] == -1){memset(check,0,sizeof(check));if(dfs(u)) ++ans;}}return ans;}

下面给出BFS版本

struct Edge{int from,to,weight;Edge(int f,int t,int w):from(f),to(t),wight(w){}};vector <int> G[max_Nodes]; //记录有边 vector <Edge> edges;queue <int> Q;typedef vector <int>::iterator iterator_t;int prev[max_Nodes];int num_nodes,num_left,num_right,num_edges;int matching[max_Nodes];//存储求解结果int check[max_Nodes];int Hungarian(){int ans = 0;memset(matching,-1,sizeof(matching));memset(check,-1,sizeof(check));for(int i = 0 ; i < num_left ; ++i){if(matching[i] == -1){while(!Q.empty())Q.pop();Q.push(i);prev[i] = -1;//设i为路径起点bool flag = false;//设未找到增广路while(!Q.empty() && !flag){int u = Q.front();for(iterator_t ix = G[u].begin(); ix <= G[u].end() && !flag; ++ix){int v = edges[*ix].to;if(check[v] != i){check[v] = i;Q.push(matching[v]);if(matching[v] >= 0)//此点为匹配点 prev[matching[v]] = u;else {//找到未匹配点，交替路变成增广路 flag = true;int d = u, e = v;while(d != -1){int t = matching[d];matching[d] = e;matching[e] = d;d = prev[d];e = t;}}}}Q.pop(); }if(matching[i] != -1) ++ans; }}return ans;}

 

真正求二分图的最大匹配的题目很少，往往做一些简单的变化

变种1：二分图的最小顶点覆盖
在二分图中求最少的点，让每条边都至少和其中的一个点关联，这就是“二分图的最小顶点覆盖”。
hdoj1150
二分图的最小顶点覆盖数 = 二分图的最大匹配数


变种2：DAG图（无回路有向图）的最小路径覆盖
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。
hdoj1151
DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）
关键：求二分图的最大匹配数


变种3: 二分图的最大独立集
hdoj1068
二分图的最大独立集数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）
关键：求二分图的最大匹配数