max sub array

题外话，写“算法是一门技术”系列主要是感觉自己对算法背后的东西没有一个统一的认识，应该是功力尚浅，本系列大致计划是按照《算法导论》第三版的每个大的专题顺序进行撰写，记录些许自己的理解(所以会比较凌乱)，不当之处，欢迎指正。

1，最直观的想法就是暴力，最终需要找到一个最大子序列，即数组A中的两个索引 i, j. 计算每个以i开头的子序列的最大值，然后比较每个max_sub_sum[i]即可。
2，divide and conquer，这是一种思想，首先要尝试这种方法的可行性。简单操作，一分为二，max_sub_array 要么left, 要么right，当然如果只有两个子问题那就好办，类似大事化小，小事化无，可惜没有免费的午餐，那就是子问题之间的联系必须考虑，题意中就是cross项， 而cross项不同于问题本身，或者说他是一个新问题（其实是添加了限制条件的子问题），正因为这个限制条件（left以mid为终点，right以mid+1为起点）使得我们在O（n）内解决他，整个问题自然就成了O（nlgn）.
3，dynamic programming, 这也是一种思想，核心有两个：问题的解可以分为子问题的解，具有重叠子问题。如何构造子问题就是核心了，一般文章中会直接跳到下一步，即构造m[i]代表以i结尾max_sub_array, 然后直接给出递推公式就完了，但是m[i]是如何得到？这里就有些“尝试”的味道了，首先划分子问题，最终目标就是找到索引i, j。划分为不同索引结尾的子问题（有人说为什么不分为以不同索引开头的呢？其实也可以这么分，只不过这样就找不到递推式了，所以说有些“尝试”的味道），然后剩下的东西就水到渠成了！

/********Description*******///find the sum of contiguous sub array within a one-dimensional array of numbers //which has the largest sum and return the elements//from "introduction to algorithms"  P38#include <iostream>#include <vector>#include <algorithm>using namespace std;//O(n^2)void brute_force(vector<int>& array, int& s, int& e){    int max_sum = INT_MIN;    for (int i = 0; i < array.size(); i++)    {        int sub_sum = 0;        for (int j = i; j < array.size(); j++)        {            sub_sum += array[j];            if (sub_sum > max_sum)            {                max_sum = sub_sum;                s = i;                e = j;            }        }    }}//O(nlgn): divide and conquerint max_cross(vector<int>& a, int left, int mid, int right){    //find left max_sum    int left_max_sum = INT_MIN;    int left_sum = 0;    for (int i = mid; i >= left; i--)    {        left_sum += a[i];        if (left_sum > left_max_sum)            left_max_sum = left_sum;    }    //find right max_sum    int right_max_sum = INT_MIN;    int right_sum = 0;    for (int i = mid + 1; i <= right; i++)    {        right_sum += a[i];        if (right_sum > right_max_sum)            right_max_sum = right_sum;    }    return left_max_sum + right_max_sum;}int max_sub(vector<int>& a, int left, int right){    if (left == right)        return a[left];    else    {        int mid = (left + right) / 2;        int sum_left = max_sub(a, left, mid);        int sum_right = max_sub(a, mid + 1, right);        int sum_cross = max_cross(a, left, mid, right);        int ret = sum_right;        if (sum_left > ret)            ret = sum_left;        if (sum_cross > ret)            ret = sum_cross;        return ret;    }}//dynamic programmingint dp(vector<int>& a, int& s, int& e){    if (a.size() < 1)    {        cout << "error" << endl;        return -1;    }    vector<int> m(a.size(), 0);    m[0] = a[0];    int max_sum = m[0];    int sub_s = 0;    int sub_e = 0;    for (int i = 1; i < m.size(); i++)    {        if (m[i - 1] + a[i] < a[i])        {            sub_s = i;            sub_e = i;        }        else        {            sub_e = i;        }        m[i] = max(m[i - 1] + a[i], a[i]);        if (m[i] > max_sum)        {            max_sum = m[i];            s = sub_s;            e = sub_e;        }    }    return max_sum;}int main(int argc, char** argv){    //test    int start, end;    vector<int> array{-2, -3, 4, -1, -2, 1, 5, -3};    brute_force(array, start, end);    for (int i = start; i <= end; i++)        cout << array[i] << "   ";    cout << endl;    int ret = max_sub(array, 0, array.size() - 1);    cout << ret << endl;    int dp_ret = dp(array,start,end);    cout << dp_ret << endl;    for (int i = start; i <= end; i++)        cout << array[i] << "   ";    cout << endl;    return 0;}