bzoj 3218: a + b Problem （可持久化线段树+最小割）

题目描述

传送门

题目大意：从前有个 n 个方格排成一行，从左至右依此编号为 1,2,⋯,n
有一天思考熊想给这 n 个方格染上黑白两色。
第 i个方格上有 6个属性：ai,bi,wi,li,ri,pi。
如果方格 i 染成黑色就会获得 bi 的好看度。
如果方格 i染成白色就会获得 wi 的好看度。
但是太多了黑色就不好看了。如果方格 i是黑色，并且存在一个 j使得 1≤j<i且 li≤aj≤ri且方格 j 为白色，那么方格 i就被称为奇怪的方格。
如果方格 i 是奇怪的方格，就会使总好看度减少 pi。
也就是说对于一个染色方案，好看度为：
∑方格i为黑色bi+∑方格i为白色wi−∑方格i为奇怪的方格pi
现在给你 n,a,b,w,l,r,p问所有染色方案中最大的好看度是多少。

题解

先考虑最原始的建图。

两种建图在写的过程中都尝试了，但是B是错的。为什么呢？区别在于B图拆点了，有些限制实现不了。就是如果一个点x不能直接限制另一个点y，但是可以通过限制另一个点z，再由z限制y。对于这种传递关系B图是实现不了的所以是错的，想让B也是对的其实只需要一个小修改，把B图中橙色的边改成双向边即可。
这也提示我们在建立最小割模型的时候要小心。

关键是怎么优化建图，发现A图中多数的边来之蓝色的边，极限情况下蓝色边的个数可以达到n∗(n−1)2.
发现如果我们按照点权，先不考虑j<i，那么每个点连出去的蓝边实际上是一段区间，如果我们这个东西转换成一棵权值线段树的话，那么每个点最多选中logn个区间，每个叶子节点连向每个点的代表节点，线段树中的边直接连接。相当于在图中加入了一棵线段树。还有一个限制是j<i，那么我们只需要把权值线段树改成可持久化线段树即可。

蓝色的边表示叶子节点连接每个点的代表节点，对于橙色的边，因为3,4属于权值线段树的同一个位置，所以对于所有流经4的也一定会流经3.

代码

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>#include<queue>#define N 500003#define inf 1000000000 using namespace std;int tot,point[N],v[N],nxt[N],remain[N],last[N],deep[N],cur[N],num[N];int n,m,L[N],R[N],w[N],a[N],b[N],p[N];int ls[N],rs[N],root[N],sz,c[N],cnt;int add(int x,int y,int z){    tot++; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; remain[tot]=z;    tot++; nxt[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; remain[tot]=0;    //cout<<x<<" "<<y<<" "<<z<<endl;}int addflow(int s,int t){    int now=t; int ans=inf;    while (now!=s) {        ans=min(ans,remain[last[now]]);        now=v[last[now]^1];    }    now=t;    while (now!=s) {        remain[last[now]]-=ans;        remain[last[now]^1]+=ans;        now=v[last[now]^1];    }    return ans;}void bfs(int s,int t){    for (int i=1;i<=sz;i++) deep[i]=sz;    deep[t]=0;     queue<int> p; p.push(t);    while (!p.empty()){        int now=p.front(); p.pop();        for (int i=point[now];i!=-1;i=nxt[i])         if (deep[v[i]]==sz&&remain[i^1])          deep[v[i]]=deep[now]+1,p.push(v[i]);    }}int isap(int s,int t){    int now=s; bfs(s,t); int ans=0;    for (int i=1;i<=sz;i++) cur[i]=point[i];    for (int i=1;i<=sz;i++) num[deep[i]]++;    while (deep[s]<sz) {        if (now==t) {            ans+=addflow(s,t);            now=s;        }        bool pd=false;        for (int i=point[now];i!=-1;i=nxt[i])         if (deep[v[i]]+1==deep[now]&&remain[i]){            cur[now]=i;            pd=true; last[v[i]]=i;            now=v[i]; break;         }        if (!pd) {            int minn=sz+1;            for (int i=point[now];i!=-1;i=nxt[i])             if(remain[i]) minn=min(minn,deep[v[i]]);            if (!--num[deep[now]]) break;            num[deep[now]=minn+1]++;            cur[now]=point[now];            if (now!=s) now=v[last[now]^1];        }    }    return ans;}void insert(int &i,int l,int r,int x,int id){    ls[++sz]=ls[i]; rs[sz]=rs[i];    if (l==r) {        if (i) add(sz,i,inf);        add(sz,id,inf);        i=sz;        return;    }    int mid=(l+r)/2;    i=sz;    if (x<=mid) insert(ls[i],l,mid,x,id);    else insert(rs[i],mid+1,r,x,id);}void query(int i,int l,int r,int ll,int rr,int id){    if (ll<=l&&r<=rr) {        if (i) add(id,i,inf);        return;    }    int mid=(l+r)/2;    if (ll<=mid) query(ls[i],l,mid,ll,rr,id);    if (rr>mid) query(rs[i],mid+1,r,ll,rr,id);}int main(){    freopen("a.in","r",stdin);//  freopen("my.out","w",stdout);    scanf("%d",&n); int sum=0; tot=-1;    memset(point,-1,sizeof(point));    for (int i=1;i<=n;i++){      scanf("%d%d%d%d%d%d",&a[i],&b[i],&w[i],&L[i],&R[i],&p[i]);      sum+=b[i]+w[i];      c[++cnt]=a[i]; c[++cnt]=L[i]; c[++cnt]=R[i];    }    sort(c+1,c+cnt+1);    cnt=unique(c+1,c+cnt+1)-c-1;    int S=1; int T=2+2*n;    for (int i=1;i<=n;i++){     add(S,i+1,b[i]);     add(i+1,i+n+1,p[i]);     add(i+1,T,w[i]);    }    sz=T;    for (int i=1;i<=n;i++) {        a[i]=lower_bound(c+1,c+cnt+1,a[i])-c;        L[i]=lower_bound(c+1,c+cnt+1,L[i])-c;        R[i]=lower_bound(c+1,c+cnt+1,R[i])-c;        query(root[i-1],1,cnt,L[i],R[i],i+n+1);        root[i]=root[i-1]; insert(root[i],1,cnt,a[i],i+1);    }    for (int i=T+1;i<=sz;i++) {        if (ls[i]) add(i,ls[i],inf);        if (rs[i]) add(i,rs[i],inf);    }    printf("%d\n",sum-isap(S,T));}