详解树链剖分

树链剖分，顾名思义为将链剖开分成多条。

当我们想要修改树上一条路的值或求值时，我们暴力只能用一个个修改，这是非常慢的。这时，我们就要想一个办法，数据结构？但是数据结构我们都需要连续修改，可是树上路径的编号是不连续的。于是我们想了一个办法。
我们先定义
fa[x]为x的父亲
dep[x]为x的深度
size[x]为以x为根的子树的节点个数
几个名词：
1.重边（一个节点的儿子中size最大的点与这个点之间的边）
2.重儿子 x的重儿子记为son[x]（一个节点重边连接的儿子）
3.轻边（一个节点除重儿子外与其他儿子链接的边）
4.轻儿子 （x除重儿子外的儿子）
5.重链（由重边连接而成的链）
6.轻链（由轻边连接而成的链）
然后我们再定义
top[x]为x所在的重链中深度最小的节点（若x不为fa[x]的重儿子则top[x]=x，即自己一个点形成一条重链）

我们举个例子，在这棵树中，son[1]=2（因为size[2]比size[3]和size[4]大）。
1，2，6，9，11构成一条重链；3，7，10构成一条重链。
top[1]=top[2]=top[6]=top[9]=top[11]=1
top[3]=top[7]=top[10]=3
top[5]=5 top[4]=4 top[8]=8
然后又这样一条性质，从根到任意一节点的路径上轻链，重链的个数都不大于logN（N为节点个数）。

现在我们将一条重链上连续标号，建立新的标号（这是为了可以在数据结构中连续修改）。
我们dfs遍历，优先走重儿子，则上面那个图的新标号tid为：
tid[1]=1 tid[2]=2 tid[6]=3 tid[9]=4 tid[11]=5
tid[5]=6
tid[3]=7 tid[7]=8 tid[10]=9
tid[8]=10
tid[4]=11

我们有了新的编号，所有的准备工作都已经完成了。
令操作为修改（求值）u到v的路径。
1. 若top[u]=top[v] 则我们可以直接在线段树中修改（求值）tid[u]~tid[v]（假定tid[u]<=tid[v]）的区间。
2. 若top[u]!=top[v] 不妨设dep[top[u]]>dep[top[v]]则我们可以使u跳到fa[top[u]]的位子，这样我们可以使u离v更近一些，使得u和v尽快跳到一条重链上。并且由于重链的编号是连续的，所以我们只需要修改（求值）tid[top[u]]~tid[u]的区间即可。

我们举个例子：
上图中从10~11，即u=10，v=11，因为top[v]>top[u]，那么我们先使u跳到fa[top[10]]=1，然后u和v就在一条重链上了，那么我们就可以直接修改了。
BZOJ1036[ZJOI2008]树的统计Count
这题是树链剖分裸题，下面给出此题代码以供参考和理解。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>#define N 30500using namespace std;int n,tot,lable,Next[N*2],head[N*2],tree[N*2],a[N],m,fa[N],dep[N],son[N],size[N],tid[N],number[N];int top[N],Max[N*8],sum[N*8];bool visit[N];void add(int x,int y){    tot++;    Next[tot]=head[x];    head[x]=tot;    tree[tot]=y;}void dfs(int x,int depth,int father){    visit[x]=true;fa[x]=father;dep[x]=depth;son[x]=0;size[x]=1;    int maxsize=0;    for (int i=head[x];i;i=Next[i])    if (!visit[tree[i]])    {        dfs(tree[i],depth+1,x);        size[x]+=size[tree[i]];        if (size[tree[i]]>maxsize)        {            maxsize=size[tree[i]];            son[x]=tree[i];        }    }}void dfs1(int x,int ancestor){    visit[x]=true;tid[x]=++lable;number[lable]=x;top[x]=ancestor;    if (son[x]!=0) dfs1(son[x],ancestor);    for (int i=head[x];i;i=Next[i])        if (!visit[tree[i]]) dfs1(tree[i],tree[i]);}void up(int x){    Max[x]=max(Max[x*2],Max[x*2+1]);    sum[x]=sum[x*2]+sum[x*2+1];}void build(int l,int r,int id){    Max[id]=-1<<29;sum[id]=0;    if (l==r)    {        Max[id]=sum[id]=a[number[l]];        return;    }    int mid=(l+r)/2;    build(l,mid,id*2);    build(mid+1,r,id*2+1);    up(id);}void change(int x,int l,int r,int id,int d){    if (l>x||r<x) return;    if (l==r&&l==x)     {        Max[id]=sum[id]=d;        return;    }    int mid=(l+r)/2;    change(x,l,mid,id*2,d);    change(x,mid+1,r,id*2+1,d);    up(id);}int query(int x,int y,int id,int l,int r,int q){    if (l>y||r<x)     {        if (q==0) return -1<<29;else return 0;    }    if (x<=l&&r<=y)     {        if (q==0) return Max[id];else return sum[id];    }    int mid=(l+r)/2;    if (q==0) return max(query(x,y,id*2,l,mid,q),query(x,y,id*2+1,mid+1,r,q));        else return query(x,y,id*2,l,mid,q)+query(x,y,id*2+1,mid+1,r,q);    up(id);}int Query(int x,int y,int q){    int ans;    if (q==0) ans=-1<<29;else ans=0;    while (top[x]!=top[y])    {        if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);        if (q==0) ans=max(ans,query(tid[top[x]],tid[x],1,1,n,0));            else ans+=query(tid[top[x]],tid[x],1,1,n,1);        x=fa[top[x]];    }    if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);    if (q==0) ans=max(ans,query(tid[x],tid[y],1,1,n,0));            else ans+=query(tid[x],tid[y],1,1,n,1);    return ans;}int main(){    scanf("%d",&n);    tot=lable=0;    for (int i=1;i<n;i++)    {        int x,y;        scanf("%d%d",&x,&y);        add(x,y);add(y,x);    }    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);    scanf("%d",&m);    for (int i=1;i<=n;i++) visit[i]=false;    dfs(1,1,0);    for (int i=1;i<=n;i++) visit[i]=false;    dfs1(1,1);    build(1,n,1);    char s[100];    for (int i=1;i<=m;i++)    {        int x,y;        scanf("%s%d%d",s,&x,&y);        if (s[0]=='C') change(tid[x],1,n,1,y);        if (s[1]=='M') printf("%d\n",Query(x,y,0));        if (s[1]=='S') printf("%d\n",Query(x,y,1));    }    return 0;} 

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