树链剖分详解

树链剖分用一句话概括就是：把一棵树剖分为若干条链，然后利用数据结构(树状数组，SBT，Splay，线段树等等)去维护每一

条链，复杂度为O(logn)

 

 

那么，树链剖分的第一步当然是对树进行轻重边的划分。

定义size(x)为以x为根的子树节点个数，令v为u的儿子中size值最大的节点，那么(u,v)就是重边，其余边为轻边。

 

当然，关于这个它有两个重要的性质：

(1)轻边(u,v)中，size(v)<=size(u/2)

(2)从根到某一点的路径上，不超过logn条轻边和不超过logn条重路径。

 

 

当然，剖分过程分为两次dfs，或者bfs也可以。

 

如果是两次dfs，那么第一次dfs就是找重边，也就是记录下所有的重边。

然后第二次dfs就是连接重边形成重链，具体过程就是：以根节点为起点，沿着重边向下拓展，拉成重链，不在当前重链上的节

点，都以该节点为起点向下重新拉一条重链。

 

 

剖分完毕后，每条重链相当于一段区间，然后用数据结构去维护，把所有重链首尾相接，放到数据结构上，然后维护整体。

 

在这里，当然有很多数组，现在我来分别介绍它们的作用：

 

siz[]数组，用来保存以x为根的子树节点个数

top[]数组，用来保存当前节点的所在链的顶端节点

son[]数组，用来保存重儿子

dep[]数组，用来保存当前节点的深度

fa[]数组，用来保存当前节点的父亲

tid[]数组，用来保存树中每个节点剖分后的新编号

rank[]数组，用来保存当前节点在线段树中的位置

 

那么，我们现在可以根据描述给出剖分的代码：

第一次dfs：记录所有的重边

[cpp] view plain copy

1. void dfs1(int u,int father,int d)  
2. {  
3.     dep[u]=d;  
4.     fa[u]=father;  
5.     siz[u]=1;  
6.     for(int i=head[u];~i;i=next[i])  
7.     {  
8.         int v=to[i];  
9.         if(v!=father)  
10.         {  
11.             dfs1(v,u,d+1);  
12.             siz[u]+=siz[v];  
13.             if(son[u]==-1||siz[v]>siz[son[u]])  
14.                 son[u]=v;  
15.         }  
16.     }  
17. }  

第二次dfs：连重边成重链

[cpp] view plain copy

1. void dfs2(int u,int tp)  
2. {  
3.     top[u]=tp;  
4.     tid[u]=++tim;  
5.     rank[tid[u]]=u;  
6.     if(son[u]==-1) return;  
7.     dfs2(son[u],tp);  
8.     for(int i=head[u];~i;i=next[i])  
9.     {  
10.         int v=to[i];  
11.         if(v!=son[u]&&v!=fa[u])  
12.             dfs2(v,v);  
13.     }  
14. }  

当然，由于题目有时候要求边很多，所以最好不要用二维数组表示边，应用邻接表或者链式前向星。

 

 

当然，这里面有一个重要的操作，那就是修改树中边权的值。

 

如何修改u到v的边权的值呢？这里有两种情况：

(1)如果u与v在同一条重链上，那么就直接修改了

(2)如果u与v不在同一条重链上，那么就一边进行修改，一边将u与v往同一条重链上靠，这样就变成了第一种情况了

 

那么现在的关键问题就是如何将u和v往同一条重链上靠？这个问题此处我就省略了。

 

至此，树链剖分原理基本分析完毕！

个人理解：感觉树链剖分就是将树中的点根据一定的dfs序映射到一位数组中，便于利用其他数据结构（线段树，树状数组）进行一些区间操作