剑指Offer——计算1至n中数字x出现的次数

一、1的数目

编程之美上给出的规律：

1. 如果第i位（自左至右，从1开始标号）上的数字为0，则第i位可能出现1的次数由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于更高位数字乘以当前位数的权重10^(i-1)。

2. 如果第i位上的数字为1，则第i位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响（若没有低位，视低位为0），等于更高位数字乘以当前位数的权重10^(i-1) + (低位数字+1)。

3. 如果第i位上的数字大于1，则第i位上可能出现1的次数仅由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于(更高位数字+1)乘以当前位数的权重10^(i-1)。

二、X的数目

这里的X∈[1, 9]，因为X=0不符合下列规律，需要单独计算。

首先要知道以下规律：

• 从1至10，在它们的个位数中，任意的X都出现了1次。
• 从1至100，在它们的十位数中，任意的X都出现了10次。
• 从1至1000，在它们的百位数中，任意的X都出现了100次。

以此类推，从1至10^i，在它们的左数第二位（右数第i位）中，任意的X都出现了10^(i-1)次。

这个规律很容易验证，这里不再多做说明。

接下来以n=2593，X=5为例来解释如何得到数学公式。从1至2593中，数字5总计出现了813次，其中有259次出现在个位，260次出现在十位，294次出现在百位，0次出现在千位。

现在依次分析这些数据，首先是个位。从1至2590中，包含了259个10，因此任意的X都出现了259次。最后剩余的三个数2591、2592和2593，因为它们最大的个位数字3<X，因此不会包含任何5。（也可以这么看，3<X，则个位数上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字(259)×10^(1-1)=259）。

然后是十位。从1至2500中，包含了25个100，因此任意的X都出现了25×10=250次。剩下的数字是从2501至2593，它们最大的十位数字9>X，因此会包含全部10个5。最后总计250+10=260。（也可以这么看，9>X，则十位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字(25+1)×10^(2-1)=260）。

接下来是百位。从1至2000中，包含了2个1000，因此任意的X都出现了2×100次。剩下的数字是从2001至2593，它们最大的百位数字5==X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含5的，但不会包含全部100个。如果把百位是5的数字列出来，是从2500至2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是93+1=94。最后总计200+94=294。（也可以这么看，5==X，则百位上可能出现X的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，等于更高位数字(2)×10^(3-1)+(93+1)=294）。

最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字2<X。所以不会包含任何5。（也可以这么看，2<X，则千位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字(0)×10^(4-1)=0）。

到此为止，已经计算出全部数字5的出现次数。

总结一下上面的算法，可以看到，当计算右数第i位包含的X的个数时：

1. 取第i位左边（高位）的数字，乘以10^(i-1)，得到基础值a。
2. 取第i位数字，计算修正值：如果大于X，则结果为a+10^(i-1)；如果小于X，则结果为a；如果等于X，则取第i位右边（低位）数字，设为b，最后结果为a+b+1。

相应的代码也非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有O(lgn)。

public class NumberOfXBetween1AndN {public int numberOfXBetween1AndN(int n, int x) {if(n < 0 || x < 1 || x > 9)return 0;int high, low, curr, tmp, i = 1;high = n;int total = 0;while(high != 0) {high = n / (int)Math.pow(10, i); // 获取第i位的高位tmp = n % (int)Math.pow(10, i);curr = tmp / (int)Math.pow(10, i-1); //获取第i位low = tmp % (int)Math.pow(10, i-1); //获取第i位的低位if(curr == x)total += high*(int)Math.pow(10, i-1) + low + 1;else if(curr > x)total += (high+1)*(int)Math.pow(10, i-1);elsetotal += high*(int)Math.pow(10, i-1);i++;}return total;}}