数学题找规律

Number Sequence

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Description

A single positive integer i is given. Write a program to find the digit located in the position i in the sequence of number groups S1S2...Sk. Each group Sk consists of a sequence of positive integer numbers ranging from 1 to k, written one after another. 
For example, the first 80 digits of the sequence are as follows: 
11212312341234512345612345671234567812345678912345678910123456789101112345678910

Input

The first line of the input file contains a single integer t (1 ≤ t ≤ 10), the number of test cases, followed by one line for each test case. The line for a test case contains the single integer i (1 ≤ i ≤ 2147483647)

Output

There should be one output line per test case containing the digit located in the position i.

Sample Input

283

Sample Output

22

题目大意就是给你这一串数字11212312341234512345612345671234567812345678912345678910123456789101112345678910……（未列完）

要我们求出第n个数是多少(从左到右看)，例如第2个是1，第三个是2，第八个是2；

如果仔细观察这一串数字，可以发现他可以还分为很多小串，假设第i小串是123……i，假设第i小串所占的空间是a[i]，则通过对比a[i]与a[i+1]发现，

第i+1串只比第i串多一个数，即i+1，故他们所占的空间差就是第i+1所占的空间。

对任意一个数所占的空间很好求，即 （int）log10（k）+1；

然后就可以求出每一个串的起始位置，通过与n比较就可以确定n出现在那一个串里，最后在求出n在这个串里的相对位置，就可以求出该题的解

参考代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a1[32000] ;        //用来存储每一个串所占的空间
__int64 a[32000] ;    //用来存储每一个串的起始位置
int num[150000];    //打印出最大的一个串
int main()
{
    int i;
    a1[0]=0 ;
    a1[1]=1;
    for ( i = 2 ; i < 32000 ; i ++ )
        a1[i] = a1[i-1] + (int)log10(1.0*i)+1;    //推导详见上文
    a[0]=1;
    for ( i = 1 ; i < 32000 ; i ++ )
        a[i]=a[i-1]+a1[i-1];                    //上一个串的起点加所占空间就是下一个串的起点                
    int k = 1;
    for ( i = 1 ; i < 31300 ; i ++ )
    {//打印最大的一个串
        char str[20];
        
        str[0]='0';
        int ti = i ;
        int len = 0 ;
        while (ti)
        {
            str[len]=ti%10+'0';
            ti=ti/10;
            len++;
        }
        while ( len -- )
        {
            num[k]=str[len]-'0';
            k++;
        }
    }
    int t;
    cin >> t;
    while ( t-- )
    {
        int mn;
        cin >>mn;
        for ( i =1; i < 32000 ; i ++ )
            if ( a[i]>=mn )
                break;
        if ( a[i] ==mn )
            cout<<1<<endl;
        else
        {//mn-a[i-1]+1就是其在第i-1个串里的相对位置
            cout<<num[mn-a[i-1]+1]<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

下面这段代码更是精妙，利用了位数，而不用打表。

借鉴别人的思路，利用位数求解：思路不错。
题意:求第n位的数字。
函数log10((double)i)+1,求的是一个数的位数。
当达到31270时，已经超过了2147483647位数
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define max 31270
using namespace std;
unsigned int a[max];
unsigned int s[max];
void start()
{
    int i,j;
    a[1]=1;
    s[1]=1;
    for(i=2; i<31270; i++) //打表记录总的位数
    {
        a[i]=a[i-1]+(int)log10((double)i)+1;
        s[i]=s[i-1]+a[i];
    }
}
int res(int n)//预处理，不断缩小范围
{
    int i=1,j=1;
    int m=0;
    int len=0;

    for(i=1; i<31270; i++)
    {
        if(s[i]>=n)
          break;
    }
    int pos=n-s[i-1];
    for(j=1; len<pos; j++)
    {
        len+=(int)log10((double)j)+1;
    }
    return ((j-1)/(int)pow(10.0,len-pos))%10;  //j就是数目，再利用len - pos 的差成为10 的指数，再取余。
}
int main()
{
    int t;
    int test;
    cin>>t;
    start();
    while(t--)
    {
        cin>>test;
        cout<<res(test)<<endl;
    }
    return 0;
}