数学题-矩阵翻硬币-找规律

题意就是：有一个n*m的矩阵，每个点上有一枚硬币或者正面朝上或者正面朝下，然后定义一种操作Q，对（x,y）点的硬币进行一次Q操作即为将所有（x*i，y*i）的硬币进行一个翻面操作。其中（i,j为任何合法数）。

然后所有硬币都进行了一次Q操作，所有硬币都正面朝上了，问原来有多少硬币朝下？

很容易想到的是将这个矩阵所有硬币在进行一个Q操作，则所有有多少个硬币就能知道了。然后进行模拟。但是时间复杂度为n2*m2显然不行。于是我们就开始找规律。发现我们不要正面去想问题，不要想着这个硬币对那些硬币产生了影响，然是应该反过来想那些硬币对当前硬币产生了影响。很容易发现只要是当前坐标的的约数就能对当前点产生影响。也容易发现每个约数都对应着另外一个约数所以翻面次数一定是偶数。只有一种情况那就是这个数x是完全平方数，sqrtx没有对应的约数。次数翻面次数为偶数。所以易得当x和y都是完全平方数时，硬币翻面奇数次。

所以答案就是sqrt(n)*sqrt(m);

但是n和m还是有10^1000所以就是一个大数的运算。套一个大数模板即可。

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;//两个字符串相乘 string strMultiply(string str1 , string str2){    string strResult = "";    int len1 = str1.length();     int len2 = str2.length();    int num[500] = {0};    int i = 0, j = 0;       for(i = 0; i < len1; i++)    {        for(j = 0; j < len2; j++)        {            num[len1-1 - i + len2-1 - j] += (str1[i] - '0')*(str2[j] - '0');         }    }        for(i = 0; i < len1 + len2; i++)    {        num[i+1] += num[i] / 10;                num[i] = num[i] % 10;    }        for(i = len1 + len2 - 1; i >= 0 ; i--)    {        if(0 != num[i]) break;    }        for(j = i; j >= 0; j--)    {        strResult += num[j] + '0';    }    return strResult;}//str1 * 10^pos后(即在str1后添上pos个0)，与str2作比较int compare(string str1, string str2, int pos){    int len1 = str1.length();    int len2 = str2.length();    if(len2 > len1+pos) return 0;    if(len2 < len1+pos) return 1;    int i = 0;    for(i = 0; i < len2; i++)    {        if(str1[i]-'0' > str2[i]-'0') return 1;        if(str1[i]-'0' < str2[i]-'0') return 0;    }    return 0;}//对大数str开方取整string sqrtLarge(string str){    int len = str.length();    int i = 0;     int j = 0;    string strResult = "";    string str1 = "";    if(0 == len % 2)    {         //为偶数位        for(i = 0; i < len/2; i++)        {            for(j = 0; j < 10; j++)            {                str1 = strResult;                str1 += j + '0';                if(1 == compare(strMultiply(str1, str1) , str , 2*(len/2-i-1)) )                {         //由于str1后少了len/2-i-1个0，所以平方以后少了2*(len/2-i-1)个                    strResult +=  j-1 + '0';                    break;                }                if(9 == j) strResult += '9';            }        }    }    else    {       //为奇数位        for(i = 0; i < len/2+1; i++)        {            for(j = 0; j < 10; j++)            {                str1 = strResult;                str1 += j + '0';                if(1 == compare(strMultiply(str1, str1) , str , 2*(len/2-i)) )                {                    strResult +=  j-1 + '0';                    break;                }                if(9 == j) strResult += '9';            }        }    }    return strResult;}int main(){    string str1;    string str2;    string strResult;    cin>>str1>>str2;        cout<<strMultiply(sqrtLarge(str1) , sqrtLarge(str2))<<endl;        return 0;}