浅谈分块算法
来源：互联网 发布：湖南联通网络客服电话 编辑：程序博客网 时间：2024/06/05 21:14
一直觉得分块是一个很高端的东西…一直没敢碰，现在才知道分块就是一种稍微优美一些的暴力，所以没有学过分块的同学不要害怕啦…
首先，分块是什么意思呢，顾名思义就是把要处理的东西进行分块，分成一块一块的233，举个很简单的例子，对于一个数列 size（a{ }）=5，我们可以把前2个分到一起，再两个分到一起，最后单下来一个，为什么要这样处理呢？这样处理的好处又是什么呢？
我们也可以这样思考，如果我们把一个数列，当该数列的长度为n的时候，我们以根号n为一段，分出来的段数不超过根号n，如果我们要进行区间的处理，比如加法减法等，可以对于修改区间[ L , R ]可以把其中框起来的块（一块是根号n的大小）直接打上标记，由于每一块的长度不大于根号n，所以对于两边没有框起来的部分，我们直接暴力地进行更新，这样操作次数是最多2倍根号n的，而中间的标记是O（1）处理的，这就是为什么该类算法是根号级别的原因
思路看起来很清晰吧，好像很简单的样子，那么我们马上就来试试吧
以黄学长的分块学习顺序为例
（本文的所有题目，均来自黄学长，www.hzwer.com）
我们先进行区间修改单点查询操作
#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>#define MAXN 100000using namespace std;int a[MAXN],add[MAXN],b[MAXN],len,n,m;//add为标记void modify(int l,int r,int ad){ for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++) a[i]+=ad; if(b[l]!=b[r]){//注意此处的min操作，可能会在小数据卡到你 for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++) a[i]+=ad; } for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++)add[i]+=ad;}int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); len=sqrt(n); for(register int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]); for(register int i=1;i<=n;i++)b[i]=(i-1)/len+1; for(register int i=1;i<=m;i++){ int temp; scanf("%d",&temp); if(temp==1){ int l,r,ad; scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad); modify(l,r,ad); }else{ int loc; scanf("%d",&loc); printf("%d\n",a[loc]+add[b[loc]]); }//该点的值和该店所在的区间累加的标记 } return 0;}接下来是区间修改，区间查询小于某值的数有多少个
#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>#include<cmath> #define MAXN 1000000+10#define MINN 5000using namespace std;vector<int>v[MINN];int len,a[MAXN],b[MAXN],add[MINN];void reset(int zone){ v[zone].clear(); for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=zone*len;i++) v[zone].push_back(a[i]); sort(v[zone].begin(),v[zone].end());}void modify(int l,int r,int ad){ for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++) a[i]+=ad; reset(b[l]); if(b[l]!=b[r]){ for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++) a[i]+=ad; reset(b[r]); } for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++) add[i]+=ad;}int query(int l,int r,int k){ int cnt=0; for(register int i=l;i<=min(b[l]*len,r);i++){ if(a[i]+add[b[i]]<k)cnt++; } if(b[l]!=b[r]){ for(register int i=(b[r]-1)*len+1;i<=r;i++){ if(a[i]+add[b[i]]<k)cnt++; } } for(register int i=b[l]+1;i<=b[r]-1;i++){ int x=k-add[i]; cnt+=lower_bound(v[i].begin(),v[i].end(),x)-v[i].begin(); } return cnt;}int main(){ int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); len=sqrt(n); for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); for(register int i=1;i<=n;i++){ b[i]=(i-1)/len+1; v[b[i]].push_back(a[i]); } for(register int i=1;i<=b[n];i++) sort(v[i].begin(),v[i].end()); for(register int i=1;i<=m;i++){ int temp; scanf("%d",&temp); if(temp==1){ int l,r,ad; scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad); modify(l,r,ad); }else{ int l,r,k; scanf("%d%d%d",&l,&r,&k); printf("%d\n",query(l,r,k)); } } return 0;}接着是第三个问题
区间修改，查区间内某个数的前驱，如果没有则返回0
这个问题和上个问题类似，只不过由于需要查前驱，vector不能做到（只能upper _ bound和lower _ bound），而vector是支持元素可重的，这样一来无法得知其前驱（因为lower _ bound是返回第一个大于他的元素的迭代器，upper _ bound是返回值第一个大于他并且在可重范围内的最后一个数），所以只需把数据结构改成set就好了，因为set是不可重集
#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<set>#include<cmath> #define MAXN 100000#define MINN 1000using namespace std;int len,n,m;set<int>s[MINN];int add[MINN];int a[MAXN],be[MAXN];void reset(int loc){ s[loc].clear(); for(register int i=(loc-1)*len+1;i<=loc*len;i++) s[loc].insert(a[i]); }void modify(int from,int to,int ad){ for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) a[i]+=ad; reset(be[from]); if(be[from]!=be[to]){ for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) a[i]+=ad; reset(be[to]); } for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) add[i]+=ad;}int query(int from,int to,int k){ int cnt=0; for(register int i=from;i<=min(be[from]*len,to);i++)if(a[i]<k)cnt=max(cnt,a[i]); if(be[from]!=be[to]){ for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) if(a[i]<k)cnt=max(cnt,a[i]); } for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){ int x=k-add[i]; set<int>::iterator loc=s[i].lower_bound(x); if(loc==s[i].begin()) continue; loc--; cnt=max(cnt,*loc+add[i]); } return cnt;}int main(){ //freopen(".txt","r",stdin); //freopen(".out","w",stdout); scanf("%d%d",&n,&m); len=sqrt(n); for(register int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); for(register int i=1;i<=n;i++){ be[i]=(i-1)/len+1; s[be[i]].insert(a[i]); } for(register int i=1;i<=m;i++){ int temp; scanf("%d",&temp); if(temp==1){ int l,r,ad; scanf("%d%d%d",&l,&r,&ad); modify(l,r,ad); }else{ int l,r,k; scanf("%d%d%d",&l,&r,&k); printf("%d\n",query(l,r,k));//0表示没有 } } return 0;}/*10 51 2 3 4 5 6 7 8 9 102 1 9 91 1 3 22 1 4 5*/区间加法区间求和
和前面一样，打mark就行了
#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>#define MAXN 100000#define MINN 1000 using namespace std;int len;int n,m;int a[MAXN],add[MINN],val[MINN],be[MAXN];void modify(int from,int to,int ad){ for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) a[i]+=ad,val[be[from]]+=ad; if(be[from]!=be[to]){ for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) a[i]+=ad,val[be[to]]+=ad; } for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) add[i]+=ad;}int query(int from,int to){ int cnt=0; for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) cnt+=(a[i]+add[be[from]]); if(be[from]!=be[to]){ for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) cnt+=(a[i]+add[be[to]]); } for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) cnt+=(val[i]+add[i]*len); return cnt;}int main(){ //freopen(".txt","r",stdin); //freopen(".out","w",stdout); scanf("%d%d",&n,&m); len=sqrt(n); for(register int i=1;i<=n;i++)be[i]=(i-1)/len+1; for(register int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),val[be[i]]+=a[i]; for(register int i=1;i<=m;i++){ int temp; scanf("%d",&temp); if(temp==1){ int f,t,ad; scanf("%d%d%d",&f,&t,&ad); modify(f,t,ad); }else{ int f,t; cin>>f>>t; printf("%d\n",query(f,t)); } } return 0;}区间开方，区间求和
我们可以考虑一个数，在保留int的情况下，只需要几次就会开方到1或者0，所以我们只需要记录一个块是否全部是0或者1就行了，因为再进行操作不会对其进行修改
#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>#define MAXN 10000#define MINN 1000using namespace std;int n,m,be[MAXN],a[MAXN];int val[MINN];bool flag[MAXN];int len;void sqrtt(int zone){ if(flag[zone]) return; flag[zone]=true; val[zone]=0; for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=zone*len;i++){ a[i]=sqrt(a[i]); val[zone]+=a[i]; if(a[i]>1)flag[zone]=false; }}void modify(int from,int to){ for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){ val[be[from]]-=a[i]; a[i]=sqrt(a[i]); val[be[from]]+=a[i]; } if(be[from]!=be[to]){ for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){ val[be[to]]-=a[i]; a[i]=sqrt(a[i]); val[be[to]]+=a[i]; } } for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) sqrtt(i);}int query(int from,int to){ int cnt=0; for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++) cnt+=a[i]; if(be[from]!=be[to]){ for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) cnt+=a[i]; } for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++) cnt+=val[i]; return cnt;}int main(){ //freopen("sqrt.txt","r",stdin); //ios::sync_with_stdio(false); cin>>n>>m; len=sqrt(n); for(register int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/len+1; for(register int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); val[be[i]]+=a[i]; } for(register int i=1;i<=m;i++){ int temp; scanf("%d",&temp); if(temp==1){ int f,t; cin>>f>>t; modify(f,t); }else{ int f,t; cin>>f>>t; printf("%d\n",query(f,t)); } } return 0;}区间乘法，区间加法和区间查询
其实这道题有一个更简单的做法，把乘法转化为加法，比如乘n可以想成加这个数的n-1倍，注意程序中mul（乘法）lazy数组和add（加法）lazy数组的转化
#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>#define MAXN 10000#define MINN 100using namespace std;int a[MAXN],be[MAXN];int val[MINN],add[MINN],mul[MINN];int len,n,m;void modifyadd(int from,int to,int ad){ for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){ val[be[i]]+=ad; a[i]+=ad; } if(be[from]!=be[to]){ for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){ val[be[i]]+=ad; a[i]+=ad; } } for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){ add[i]+=ad; }}void modifymul(int from,int to,int mu){ for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){ val[be[i]]-=a[i]; a[i]*=mu; val[be[i]]+=a[i]; } if(be[from]!=be[to]){ for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){ val[be[i]]-=a[i]; a[i]*=mu; val[be[i]]+=a[i]; } } for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){ add[i]*=mu; mul[i]*=mu; }}int query(int from,int to){ int cnt=0; for(register int i=from;i<=min(be[from]*len,to);i++) cnt+=(a[i]*mul[be[i]]+add[be[i]]); if(be[from]!=be[to]){ for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++) cnt+=(a[i]*mul[be[i]]+add[be[i]]); } for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){ cnt+=val[i]*mul[i]+add[i]; } return cnt;}int main(){ //freopen("mul.txt","r",stdin); cin>>n>>m; len=sqrt(n); for(register int i=0;i<MINN;i++)mul[i]=1; for(register int i=1;i<=n;i++)be[i]=(i-1)/len+1; for(register int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); val[be[i]]+=a[i]; } for(register int i=1;i<=m;i++){ int temp; scanf("%d",&temp); if(temp==1){ int f,t,ju,num; scanf("%d%d%d%d",&f,&t,&ju,&num); if(ju==1){//1乘法 modifymul(f,t,num); }else{ modifyadd(f,t,num); } }else{ int f,t; cin>>f>>t; printf("%d\n",query(f,t)); } } return 0;}/*5 71 2 3 4 52 1 3//611 3 1 2// 2 4 6 4 5 21 3// 1211 4 2 1// 3 5 7 5 52 1 4// 2011 4 1 3// 9 15 21 15 52 1 5// 65*/给出一个长为n的数列，以及n个操作，操作涉及区间询问等于一个数c的元素，并将这个区间的所有元素改为c
显然我们可以边query边处理，用一个数组记录该块是否全为某一数，比如mark[1]=3表示第一个区间的所有数都为3，mark[2]=-1表示块2里的数据是乱序，没有统一
#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>#define MAXN 100000#define MINN 1000using namespace std;int n,m,be[MAXN],a[MAXN];int val[MINN],mark[MINN];int len;void reset(int zone){ if(mark[zone]==-1) return; for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=zone*len;i++) a[i]=mark[zone]; mark[zone]=-1;} int solve(int from,int to,int c){ int cnt=0; reset(be[from]); for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){ if(a[i]==c) cnt++; else a[i]=c; } if(be[from]!=be[to]){ reset(be[to]); for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){ if(a[i]==c) cnt++; else a[i]=c; } } for(register int i=be[from]+1;i<=be[to]-1;i++){ if(mark[i]!=-1){ if(mark[i]==c){ cnt+=len; }else{ mark[i]=c; } }else{ for(register int j=(i-1)*len+1;j<=i*len;j++){ if(a[j]==c) cnt++; else a[j]=c; } } } return cnt;}int main(){ //freopen("query.txt","r",stdin); cin>>n>>m; len=sqrt(n); memset(mark,-1,sizeof(mark)); for(register int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/len+1; for(register int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); val[be[i]]+=a[i]; } for(register int i=1;i<=m;i++){ int f,t,c; scanf("%d%d%d",&f,&t,&c); printf("%d\n",solve(f,t,c)); } return 0;}/*5 61 2 3 4 51 3 2// 1->2 2 2 4 51 4 2// 3->2 2 2 2 51 2 3// 0->3 3 2 2 51 5 2// 2->2 2 2 2 21 2 4// 0->4 4 2 2 22 5 4// 1-> 4 4 4 4 4*/最后一个是求区间众数
注意其中的lower_bound和upper _bound的操作，非常的巧妙，可以算出该区间该数为多少个，程序中的二元数组则是代表第i个块到第j个块的众数
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>#include<vector>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#include<map>#define MAXN 50000+10#define MINN 500+10using namespace std;map<int,int>m;vector<int>v[MAXN];int val[MAXN];int len,n,mm;int cnt[MINN][MINN];int ccnt;int rock[MAXN];int a[MAXN],be[MAXN];void pre(int zone){ memset(rock,0,sizeof(rock)); int maxn=0,loc=0; for(register int i=(zone-1)*len+1;i<=n;i++){ rock[a[i]]++; if(rock[a[i]]>maxn||(rock[a[i]]==maxn&&val[a[i]]<val[loc])){ loc=a[i]; maxn=rock[a[i]]; } cnt[zone][be[i]]=loc; }}int query(int from,int to,int x){ int temp=upper_bound(v[x].begin(),v[x].end(),to)-lower_bound(v[x].begin(),v[x].end(),from); return temp;}int query(int from,int to){ int ans=cnt[be[from]+1][be[to]-1]; int maxn=query(from,to,ans); for(register int i=from;i<=min(to,be[from]*len);i++){ int temp=query(from,to,a[i]); if(temp>maxn||(temp==maxn&&val[a[i]]<val[ans])){ ans=a[i]; maxn=temp; } } if(be[from]!=be[to]){ for(register int i=(be[to]-1)*len+1;i<=to;i++){ int temp=query(from,to,a[i]); if(temp>maxn||(temp==maxn&&val[a[i]]<val[ans])){ ans=a[i]; maxn=temp; } } } return ans;}int main(){ //freopen("txt.txt","r",stdin); scanf("%d%d",&n,&mm); len=sqrt(n); int ans=0; for(register int i=1;i<=n;i++) be[i]=(i-1)/len+1; for(register int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&a[i]); if(!m[a[i]]){ m[a[i]]=++ccnt; val[ccnt]=a[i];//注意这里的离散化并不是需要排序,而只是给每一个数一个编号 } a[i]=m[a[i]];//给数列的每个数一个编号 v[a[i]].push_back(i);//该编号的数的位置加入一个i } for(register int i=1;i<=be[n];i++) pre(i);//对每个块进行pre操作 for(register int i=1;i<=mm;i++){ int aa,bb; scanf("%d%d",&aa,&bb); aa=(aa+ans-1)%n+1;bb=(bb+ans-1)%n+1; if(aa>bb)swap(aa,bb); ans=val[query(aa,bb)]; printf("%d\n",ans); } return 0;}/*20 31 0 25 14 34 1 25 25 48 8 4 4 9 8 2 2 3 3 3 101 2010 164 8*/阅读全文
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