分块算法总结

分块算法总结

前言

第一次接触分块是写 luogu 线段树和树状数组模板 的时候，看了一篇题解，后来发现分块其实是一种很实用的暴力算法。
如果本blog有错误，请务必通知作者进行修改！

线性分块（序列分块）

（时间复杂度O(n√)，证明推荐 关于分块时间复杂度的证明）

简单介绍

如果你已经知道线性分块是什么了，可以直接跳转到“具体实现”，因为这一节基本都是废话

先贴一个 dalao【orz】的blog。（好吧我承认这篇blog用了dalao用过的的名字orz）
远航之曲-分块算法总结

下面进入正题。（终于到正题了）

如上文言，分块是一种很暴力的算法。嗯，用ZHW的话就是一种优化过的暴力。
具体来说，分块算法就是将一段很长很长的序列分成若干截较短的序列，分别进行操作。
当然，作为一种暴力算法，一般来说，它其实没有线段树、树状数组它们优……（但是也是能看的）
为什么是“一般来说”呢，因为……
暴力出奇迹嘛。

具体实现

引用 yhzq dalao 的话（懒得写）。

0.初始化
我们首先把求出块的大小
block=n√
然后求出一共有多少个块
num=n÷block
再求出每一个块的左右端点
l[i]=(i−1)×block+1
r[i]=i×block
最后求一下每个节点属于哪个块
belong[i]=(i−1)÷block+1
然后就初始化完了（有可能还要维护一下别的值）
这个步骤一般所有分块都有。

其实就是把 N 分成N−−√ 块，分别查询和修改。

这里就不写例题和题解了，可以参照 yhzq 和 黄学长 的blog。

树分块

如果你已经了解并掌握了线性分块，那么我们可以学习一种新的暴力算法……树分块。
如果没有，建议先写几道题（例如文首提到的 线段树和树状数组模板）。

如何分

和线性分块相似，树分块就是把树分成一些比较小的连通块。然而树比较复杂，怎么分是个问题。

方法一 作死不对法

要注意 它并不是可行的。
首先我们设置一个值block（可以认为是N−−√）。
然后对树进行DFS遍历，每遍历到一个节点把它压入栈中。
当栈中节点数超过block时，弹栈，弹出的元素即为一块。
但是：
这样做有许多七零八落的节点，可能树块内部并不是联通的。

方法二 官方正确法

那么正确的做法是什么呢？

对于每一个节点x：    以初次访问它时栈的栈顶作为相对栈底,    每遍历完 x 的子节点所在的子树,    判断此时 栈顶-相对栈底 得到的元素个数 是否 >=block.        若成立，弹栈至 相对栈底。    访问完所有子节点：        回溯到x的父节点时，把x压入栈。

具体实现

（干笑）还没写过，以后再补充。

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未完待续

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参考 & 博文推荐
远航之曲
hzwer
漠空

关于分块时间复杂度的证明
《浅谈分块思想在一类数据处理问题中的应用》 罗剑桥
《浅谈分块在一类在线问题中的应用》 邹逍遥
《非常规大小分块算法初探》 徐明宽