Tree(2)--二叉树(Binary Tree)

1.二叉树的定义

二叉树(Binary Tree)：一棵二叉树的结点是一个有限集合。该集合或者为空，或者是由一棵根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。二叉树的子树仍然是二叉树，达到空子树时递归的定义结束。

二叉树中不存在树大于2的结点，且左右子树的次序不能颠倒。以下是二叉树的五种不同形态：

满二叉树(Full Binary Tree)
定义：高度为h，并且由2h–1个结点的二叉树，被称为满二叉树。每一层的结点都达到了最大值

完全二叉树(Complete Binary Tree)
定义1：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶结点集中在靠左的若干位置上。这样的二叉树称为完全二叉树。
定义2：具有n个结点的深度为k的二叉树，它的每一个结点都与高度为k的满二叉树中编号为1-n的结点一一对应。
特点：叶子结点只能出现在最下层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。显然，一棵满二叉树必定是一棵完全二叉树，而完全二叉树未必是满二叉树。

二叉搜索树(Binary Search Tree)
定义：二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。

在二叉查找树中：
∙若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
∙任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
∙任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
∙没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。

2.二叉树的性质

性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为2i−1 (i≥1)。
证明：下面用数学归纳法进行证明。
∙当i=1时，第i层的节点数目为2i−1=20=1。因为第1层上只有一个根结点，所以命题成立。
∙假设当i>1，第i层的节点数目为2i−1。下面根据这个假设，推断出第(i+1)层的节点数目为2i即可。
由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，故第(i+1)层上的结点数目最多是第i层的结点数目的2倍。即第(i+1)层上的结点数目最大值=2×2i−1=2i。
故假设成立，原命题得证！

性质2：深度为k的二叉树至少有k个结点，至多有2k−1个结点(k≥0)。
证明：在具有相同深度的二叉树中，当每一层都含有最大结点数时，其树中结点数最多。利用”性质1”可知，深度为k的二叉树的结点数至多为：
20+21+…+2k−1=2k−1
故原命题得证！

性质3：包含n个结点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。
证明：根据性质2可知，高度为h的二叉树最多有2h–1个结点。反之，对于包含n个节点的二叉树的高度至少为log2(n+1)。

性质4：在任意一棵二叉树中，若终端结点(叶子结点)的个数为n0，度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。
证明：因为二叉树中所有结点的度数均不大于2，所以结点总数(记为n)=”0度结点数(n0)” + “1度结点数(n1)” + “2度结点数(n2)”。由此，得到n=n0+n1+n2(式1)
另一方面，0度结点没有孩子，1度结点有一个孩子，2度结点有两个孩子，故二叉树中孩子结点总是：n1+2n2。此外，只有根不是任何结点的孩子。故二叉树中的结点总数又可表示为n=n1+2n2+1(式2)。由(式1)和(式2)计算得到：n0=n2+1。原命题得证！

性质5：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2(n+1)]。
证明：因为性质2：深度为k的完全二叉树至多结点个数n≤2k−1 最少结点个数n>2k−1−1，因此
2k−1−1<n≤2k−1
2k−1<n+1≤2k
k<log2(n+1)≤k
因为log2(n+1)介于k-1和k之间，深度又只能是整数，故深度为[log2(n+1)]
（此性质也适用于理想平衡二叉树）

性质6：若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点：
(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
(2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
(3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。
(4) 若 2i≤n，则结点i的左孩子结点为2i。
(5) 若 2i+1≤n，则结点i的右孩子结点为2i+1。
(6) 若 i为奇数，且i不为1，它处于右兄弟位置，则它的左兄弟结点为i-1。
(7) 若 i为偶数，且i不为n，它处于左兄弟位置，则它的右兄弟结点为i+1。
(8) 结点i所在的层次为为[log2i]+1。

3. ADT of Binary tree

template <class Type> class BinaryTree {public:    BinaryTree ( );         BinaryTree ( BinTreeNode<Type> * lch,  BinTreeNode<Type> * rch, Type item );    int IsEmpty ( );            BinTreeNode<Type> *Parent (BinTreeNode<Type>* c );    BinTreeNode<Type> *LeftChild (BinTreeNode<Type>* c );    BinTreeNode<Type> *RightChild (BinTreeNode<Type>* c );    int Insert ( const Type &item );    int Find ( const Type &item ) const;    Type GetData ( ) const;    const BinTreeNode<Type> *GetRoot ( ) const;}

4. Implementation of Binary Tree

1.二叉树的数组存储表示
这种存储方式是存储完全二叉树最简单、最省存储的方式，但是对于一般的二叉树造成空间浪费。

2.二叉树的链表存储表示
可以用二叉链表或者三叉链表来存储。一般采用三叉链表。
下图表示的是三叉链表。三叉链表的每个结点包含四个域：存放数据、指向左右孩子的指针和指向父结点的指针。整个二叉树有一个表头指针，指向根节点。

References：
[1] http://www.cnblogs.com/willwu/p/6007555.html