BZOJ 2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)题解 莫队算法

一直觉得莫队莫队，这名字真好听，大概是初恋（小学的一个很可爱的女孩子）姓莫233？

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题目链接：
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2038

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Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

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Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

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Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

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Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

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Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15

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【样例解释】

询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。

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【数据规模和约定】

30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

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显然这道题作为莫队的入门题是相当不错的，我就只搞了三个小时（效率真低啊），现在大概懂了莫队是个什么东西，并且明白了怎么去实现（实现比较简单的莫队，好像还有其他数据结构维护的莫队，还有树上莫队…），这道题我们要先推数学式子
大概是这个样子
我们需要求的是sigma{C（2，cnt[val[i]]）}/C（2，r-l+1）

（画的很丑，机房里没有数学公式编辑器）
大家可以先用笔把这个式子写下来，其中val存的是第i个数的值，cnt存的是该值的个数（cnt在修改的时候是动态的），这个式子显然是正确的，我们莫队的思路对于离线的询问，先把询问进行排序，排序的方式是先把所有询问的l值分块，然后按l来排序，如果在同一个l中就比较r的值，如果不在一个里就按l来排序，数据结构和排序的函数大概是这样的
数据结构：

struct Line{ int l,r,id; dnt a,b; }q[MAXN];

两个排序的cmp

bool cmp(Line a,Line b){    if(pos[a.l]==pos[b.l])return a.r<b.r;    else return a.l<b.l;}bool cmp_id(Line a,Line b){ return a.id<b.id; }

对于询问我们进行排序之后就可以依次处理，对于区间[l,r]到区间[l±1，r]或者区间[l,r±1]的转移是否可以很快得到呢？答案是显然的，接下来我们来推导其转移过程

令某一种在[l,r]中出现的次数为cnt[某]，我们可以得到如下式子：

那么我们原来要求的下式可以进行转化：

可以转化为

注意这里将原来那个和式计算出来的结果的分子分母都同时乘以2，所以我们可以发现其中后面的-cnt[1]-cnt[2]-cnt[3]-…-cnt[n]竟然就是（r-l+1）的大小…所以就可以莫队了，每次修改的时候只修改cnt[某]^2的值即可，暴力扫一遍，莫队真是好东西

代码没压行，也有很多不要的头文件，printf故意为了增行233，如果压行的话应该60行左右吧

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<cmath>#include<vector>#include<map>#include<algorithm>#define dnt long long#define MAXN 50000+100using namespace std;int n,m;dnt ans,cnt[MAXN];int pos[MAXN],a[MAXN];dnt gcd(dnt a,dnt b){ return b==0?a:gcd(b,a%b); }dnt sqr(dnt x){ return x*x; }struct Line{ int l,r,id; dnt a,b; }q[MAXN];bool cmp(Line a,Line b){    if(pos[a.l]==pos[b.l])return a.r<b.r;    else return a.l<b.l;}bool cmp_id(Line a,Line b){ return a.id<b.id; }void init(){    scanf("%d%d",&n,&m);    int len=sqrt(n);    for(register int i=1;i<=n;i++){        scanf("%d",&a[i]);        pos[i]=(i-1)/len+1;    }    for(register int i=1;i<=m;i++){        scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);        q[i].id=i;    }    sort(q+1,q+m+1,cmp);}void modify(int position,int add){    ans-=sqr(cnt[a[position]]);    cnt[a[position]]+=add;    ans+=sqr(cnt[a[position]]);}void solve(){    for(register int i=1,l=1,r=0;i<=m;i++){        for(;r<q[i].r;r++) modify(r+1,1);        for(;r>q[i].r;r--) modify(r,-1);        for(;l<q[i].l;l++) modify(l,-1);        for(;l>q[i].l;l--) modify(l-1,1);        if(q[i].l==q[i].r){            q[i].a=0;q[i].b=1;            continue;        }        q[i].a=ans-(q[i].r-q[i].l+1);        q[i].b=(dnt)(q[i].r-q[i].l+1)*(q[i].r-q[i].l);        dnt k=gcd(q[i].a,q[i].b);        q[i].a/=k;q[i].b/=k;    }    sort(q+1,q+m+1,cmp_id);    for(register int i=1;i<=m;i++){        printf("%lld",q[i].a);        printf("/");        printf("%lld",q[i].b);        printf("\n");    }}int main(){    init();    solve();    return 0;}

BZOJ不能用cout输出，被这个卡了好久，要RE，就像这样