拓展欧几里得算法

  昨天晚上睡前没事看书看到一个拓展欧几里得算法，感觉书上讲的有点简略， 盯着看了半天， 今天从网上搜了一下， 算是理解了一些。

  废话不说， 直接用一个题来引入正题。HDU 1576

  

Problem Description

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

 

Input

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

 

Output

对应每组数据输出(A/B)%9973。

 

Sample Input

21000 5387 123456789

 

Sample Output

79226060

   已知 gcd（B，9973） = 1， 引用欧几里得辗转相除法可知，存在Ax1 + By1 = gcd(A, B),  那么 Bx1 + 9973y1 = gcd（B, 9973) = 1. 如果两边都乘上一个n的话， 就变成Bnx1 + 9973ny1 = n, 我们在进一步变形 Bnx1 - 9973(-ny1) = n ， 就得到了我们后面将要用到的一个式子。

   题意可知 n = A % 9973 = A - A / 9973 * 9973;

   设 x = A / B, 那么 A = Bx;

   所以 n = Bx - A / 9973 * 9973;

   这时候我设A / 9973 为y的话， n = Bx - 9973y;

   现在我们只要解出x的值， 便可以得到 （A / B) % 9973的值， 这正是我们想要的。

   喜闻乐见， 上面的我们的准备工作已经得到了一个和这个相似的式子， 上面的式子中nx1 = x, -ny1 = y.

   n是已知的， 现在我们的目标就是解出x1 并乘以 n, 便能得到x的值！

   这时候， 我们的拓展欧几里得算法上场了！  它的作用便是解决 Ax1 + By1 = gcd(A, B)问题！

   设 int extgcd（int a, int b, int &x, int &y）为求解 Ax + By = gcd(A, B) 的函数， 于是我们可以递归的定义extgcd， 假设已经求到Bx' + (A % B)y' = gcd(A, B)的解x' , y'， 将 A %      B = A - A / B *Ｂ带入得到　Ａy' + B(x' - (A / B ) * y') = gcd(A,B)，联立Ax + By = gcd(A, B) ， 显然当前递归深度的 x, y 和下一深度的x'，y'的关系为 x = y'， y = x' - (A/B) * y'。

   递归边界为B = 0时， 显然gcd（A,B） = A，即 x = 1, y = 0.

   这样， 我们就得到了代码。（部分摘自《挑战程序设计竞赛》（第二版））。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;int extgcd(int a, int b, int& x, int& y){    int d = a;    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;    }    else    {        d = extgcd(b, a % b, x, y);        int  t = y;        y = x - (a / b) * y;        x = t;    }    return d;}int main(){    int t;    scanf("%d", &t);    int x, y;    while(t--)    {        int n, b;        scanf("%d%d", &n, &b);        extgcd(b, 9973, x, y);        if(x < 0)        {            x += 9973;        }        x = (x * n) % 9973;        printf("%d\n", x);    }    return 0;}