生成生成树计数 --- Matrix-Tree定理(基尔霍夫矩阵树定理)
来源:互联网 发布:南方策略优化混合基金 编辑:程序博客网 时间:2024/06/16 10:56
定理证明请点这,多看几遍就懂了
模板题点这
题目大意:
*一个有n座城市的组成国家,城市1至n编号,其中一些城市之间可以修建高速公路;
*需要有选择的修建一些高速公路,从而组成一个交通网络;
*计算有多少种方案,使得任意两座城市之间恰好只有一条路径;
模板 :
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>#define ll long longusing namespace std;const int maxn=20;int degree[maxn]; //度数矩阵,记录每一个点的度数. //不懂就看下上面那个定理证明.ll a[maxn][maxn]; //矩阵树, 对角线是度数矩阵的每一个数,其余地方为 a[i][j] = a[i][j] - vis[i][j] ; int vis[maxn][maxn]; //临接矩阵,u与v相连就是等于1,否则就是为0.注意是无向边.ll det(int n) //生成树计数:Matrix-Tree定理 //这个是求行列式的精华啊(实质上这个子函数就是用来//求行列式的值的!)(所以也适用于求行列式值的题){ ll ret=1; for(int i=2; i<=n; i++) //计算任意一个n-1阶行列式的值就是答案. { for(int j=i+1; j<=n; j++){ while(a[j][i]) { ll t=a[i][i]/a[j][i]; //如果要模,则这里就一下 for(int k=i; k<=n; k++) a[i][k]=(a[i][k]-a[j][k]*t); //加一下 for(int k=i; k<=n; k++) swap(a[i][k],a[j][k]); ret=-ret; } } if(a[i][i]==0) return 0; //图无法联通. ret*=a[i][i]; //加一下 } if(ret<0) // 可以缩合为 ((ret % p ) + p ) % p ; ret=-ret; return ret;} //这个就是程序的主要函数,计算行列式的值.int main(){ int tcase; scanf("%d",&tcase); while(tcase--) { memset(degree,0,sizeof(degree)); memset(a,0,sizeof(a)); memset(vis,0,sizeof(vis)); int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); int u,v; while(m--) { scanf("%d%d",&u,&v); vis[u][v]=1; //相连就是1,否则就是0. vis[v][u]=1; degree[u]++; degree[v]++; } for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++){ if(i==j) a[i][j] = degree[i]; else a[i][j] -= vis[i][j]; } } printf("%lld\n",det(n)); } return 0;}
综合一下,还可以这样写:
(这个是在定理上面加强版,把一些步骤直接在缩合在了一起)
灵活点就是在目标矩阵中,为:(对于一些变形题就这样处理).
无向图的基尔霍夫矩阵: 对角线上表示每个点的度数,若ij之间有边则矩阵ij处为-1
无向图的生成树的数目为: 任意一个n-1阶主子式的行列式的绝对值.
while(m--) { scanf("%d%d",&u,&v); a[u][v]=a[v][u]=-1; //u与v相连,所以在目标矩阵中为-1. degree[u]++; degree[v]++; } for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=degree[i];
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