单变量线性同余方程的C++实现

在这里要注意一点的就是乘法逆的求法：

求a关于n的乘法逆的方法就是利用扩展的欧几里得算法求解：

s * n + a * t = 1 (gcd(n,a) = 1才存在乘法逆)

实现代码如下：

int gcd(int x,int y){      return y == 0 ? x : gcd(y,x%y);   }   void exEuclidean(int a,int b,int &s,int &t){      int r1 = a, r2 = b , s1 = 1, s2 = 0, t1 = 0, t2 = 1;//初始化      int q,r;       while(r2 > 0)      {          q = r1 / r2;            r = r1 - q * r2; //也就是r = r1%r2;          r1 = r2;          r2 = r;            s = s1 - q * s2;          s1 = s2;          s2 = s;                  t = t1 - q * t2;          t1 = t2;          t2 = t;       }      //gcd(a,b) = r1;       s = s1;       t = t1;  }  int main(){int a,n,b;printf("请依次输入ax %% n = b方程中的系数 a , n ,b！\n");//其实就是ax = kn + b ,也就是 ax + nk = b-------线性丢番图方程 scanf("%d %d %d",&a,&n,&b);int gcd_a_n = gcd(a,n);if(b%gcd_a_n != 0){//根据线性丢番图方程 ax + by = c中如果gcd(a,b)不能整除c的话，无解 printf("gcd(a,n)不能整出b，该方程无解\n");}else{ //有解 //(1)除以gcd_a_n,简化方程 a /= gcd_a_n;n /= gcd_a_n;b /= gcd_a_n; //(2)乘以a的乘法逆，找出方程特解x0//利用扩展的欧几里得算法求 n * s + a * t = 1（注意：1是n和a的gcd）           int s,t;          exEuclidean(n,a,s,t); //因为传引用，s和t得到解了         int a_ = (t >= 0) ? (t % n) : ((t-t*n)%n); //乘法逆就是t映射于n的值         int x0 = (b*a_)%n;        printf("特解是%d\n",x0); //(3)得到所有的通解 printf("通解是 x0 + k * %d , 0 <= k < %d\n",n,gcd_a_n);printf("所有的通解为：\n");vector<int> ans;for(int i = 0 ; i < gcd_a_n; i++){ans.push_back(x0 + i * n);printf("%d ",ans[i]);}printf("\n");}}

运行结果如下：