hdoj1098 Ignatius's puzzle(数论)

来源:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1098

先给出费马小定理:假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

题意:f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x,给定k，求最小非负数a，对于任意整数x都满足f(x)|65.

65=13*5，13和5都是质数，要使f(x)|65，只要使f(x)同时能被13和5整除。

先考虑f(x)|5。5*x^13这一项肯定能被5整除，直接讨论13*x^5+k*a*x是否能被5整除

当x为5的倍数时，13*x^5+k*a*x也肯定能被5整除。则当x与5互素时的情况，

可以将x提出来，写成x*(13*x^4+k*a)%5==0，x与5互质，根据费马小定理，

x^4%5=1，所以要满足x*(13*x^4+k*a)%5==0，需要使（k*a）%5=2。

同理，考虑f(x)|13，可得到（k*a）%13=8。

从最后这两个式子我们可以看出，如果k是13或5的倍数，a就不存在，反之，a就一定存在。

代码如下:

#include<stdio.h>int main(){int k,a,i;while(~scanf("%d",&k)){if(k%13==0||k%5==0)printf("no\n");else{a=1;while(1){if((k*a)%5==2&&(k*a)%13==8)break;a++;}printf("%d\n",a);}}return 0;}