53. Maximum Subarray动态规划求解最大子串问题

问题描述：

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],

the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

问题分析：

前面我已经通过暴力求解和分治算法求出解，这次我用动态规划来分析这个问题。当第一次拿到这个问题的时候，我尝试着建立状态方程，dp[i]表示的是以i为结尾的前i个子串的最大和，那么对于dp[i-1]，如果num[i]>0,则直接将其加入到子串中，如果num[i]<0,则没必要将之加入进来。

状态转移方程：dp[i]=num[i]>0？dp[i-1]+num[i]:dp[i-1]

最终求出dp[len.(array)]即可。dp[0]=num[0]。后来发现写完程序，是错误的，这是因为即便num[i]<0，但是它依然可能有资格进入到子串中的，所以状态的转移方程是出错的，那么需要重新构造这个方程。若dp[i-1]<0，那么这个子串相当于是累赘，不需要再加上他。如果dp[i-1]>=0,那么这个子串就为求和做出了正贡献。所以新的转移方程如下:

状态转移方程:dp[i]=dp[i-1]>0:dp[i-1]+num[i]:num[i]。

代码：

int maxSubArray(vector<int>& nums) {int *dp=new int[nums.size()];dp[0]=nums[0];int max=nums[0];for(int i=1;i<nums.size();i++){dp[i]=dp[i-1]>0?dp[i-1]+nums[i]:nums[i];if(dp[i]>max){ max=dp[i];}}return max;}