基本算法-分治算法

一、分治算法的基本思想是将一个规模大的问题按照一定的规则分解成多个小问题。这些小问题相互独立并且与原问题性质相同，求出小问题的解就可得到原问题的解。即一种分目标完成程序算法，简单问题可用二分法完成。

利用分治策略求解时，所需时间取决于分解后子问题的个数、子问题的规模大小等因素，而二分法，由于其划分的简单和均匀的特点，是经常采用的一种有效的方法，例如二分法检索。
二、使用场景：

　　分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

　　1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

　　2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

　　3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

　　4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

三、解题步骤：

        1）分解，将要解决的问题划分成若干规模较小的同类问题；

        2）求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决；

        3）合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。

四、一些经典问题：

　　（1）二分搜索

　　（2）大整数乘法

　　（3）Strassen矩阵乘法

　　（4）棋盘覆盖

　　（5）选择排序
       （6）汉诺塔

　　（7）线性时间选择

　　（8）最接近点对问题

　　（9）循环赛日程表
五、具体实例：

    1）二分搜索

　　　　二分搜索又叫做二分查找、折半查找，它是一种效率较高得查找方法。

　　　　二分搜索得要求：

　　　　线性表为有序表，并且要用向量作为表得存储结构。

　　　　二分搜索得基本思想：先确定待查找记录所在的范围，然后逐步缩小范围直至找到或找不到该记录位置。

　　　　二分查找步骤：

　　　　1、先确定中间位置：

　　　　middle = (left+right)/2;

　　　　2、将待查找得key值与data[middle].key值相比较。若相等，则查找成功并返回该位置，否则须确定新得查找区间，继续二分查找，具体方法如下：

1. 1. 　　如果data[middle].key大于key，由于data为有序线性表，可知data[middle...right].key均大于key，因此若表中存在关键字等于key得节点，则一定在位置middle左边的子表中。
   2.       反之，　data[middle].key小于key，　因此若表中存在关键字等于key得节点，则一定在位置middle右边的子表中。下一次查找针对新得区域进行查找。

　　　　java代码实现：

 1 public static void main(String[] args) { 2         int[] a = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}; 3         int pos =bSearch(a, 0, a.length-1, 1); 4         System.out.println(pos); 5     } 6      7      8     public static int bSearch(int[] data,int left,int right,int key){ 9         //获取中间位置10         int middle = (left+right)/2;11         //比较key值如相等，返回当前位置，否则确认新的查找空间12         if(data[middle] == key){13             return middle;14         }else if(data[middle] >key){15             return bSearch(data, left, middle-1, key);16         }else{17             return bSearch(data, middle+1, right, key);18         }19     }

　　2）汉诺塔　

　　　　在汉诺塔游戏中，有三个分别命名为A、B、C得塔座，几个大小各不相同，从小到大一次编号得圆盘，每个原盘中间有一个小孔。最初，所有得圆盘都在A塔座上，其中最大得圆盘在最下面，然后是第二大，以此类推.

 

　　　　游戏的目的是将所有的圆盘从塔座A移动到塔座B;塔座C用来防止临时圆盘,游戏的规则如下:

　　　　1、一次只能移动一个圆盘

　　　　2、任何时候都不能将一个较大的圆盘压在较小的圆盘上面.

　　　　3、除了第二条限制,任何塔座的最上面的圆盘都可以移动到其他塔座上.

　　汉诺塔问题解决思想:

　　　　在解决汉诺塔问题时,事实上,我们不是罪关心圆盘1开始应该挪到哪个塔座上,而是关心最下面的圆盘4.当然,我们不能直接移动圆盘4,但是圆盘4最终将从塔座A移动到塔座B.按照游戏规则,在移动圆盘4之前的情况一定如下图

　　 我们仍将分析,如何将前三个圆盘从A移动到C,然后圆盘4从A移动到B,前三个圆盘从C再移动到B.

　　但是上面的步骤可以重复利用!例如将三个圆盘从A移动到C,那么应该先将前两个圆盘从A移动到B,然后将圆盘3从A移动到C,最后将前两个圆盘从B移动到C.

　　持续简化这个问题,最终我们将只需要处理一个圆盘从一个塔座移动到另一个塔座的问题.

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　　java代码实现:

 1 public class Moved { 2     private static int count = 1; 3     public static void main(String[] args) { 4         moved(4, "第一根柱子", "第二根柱子", "第三根柱子"); 5     } 6      7     /** 8      *  9      * @param i  圆盘数量10      * @param a  圆盘初始所在塔座11      * @param b  圆盘将要移动到的塔座12      * @param c     辅助圆盘移动的塔座13      */14     public static void moved(int i,String a,String b,String c){15         if(i == 1){16             disPaly(1, a, b);17         }else{18             //将i-1根圆盘由A移动到C19             moved(i-1, a, c, b);20             //将圆盘i 由A移动到B21             disPaly(i, a, b);22             //将i-1根圆盘由C移动到A23             moved(i-1,c,b,a);24         }25     }26     27     public static void disPaly(int i,String a,String b){28         System.out.println("第"+count+"步：移动第"+i+"个塔从"+a+"到"+b);29         count++;30     }31 }

运行结果:

 1 第1步：移动第1个塔从第一根柱子到第三根柱子 2 第2步：移动第2个塔从第一根柱子到第二根柱子 3 第3步：移动第1个塔从第三根柱子到第二根柱子 4 第4步：移动第3个塔从第一根柱子到第三根柱子 5 第5步：移动第1个塔从第二根柱子到第一根柱子 6 第6步：移动第2个塔从第二根柱子到第三根柱子 7 第7步：移动第1个塔从第一根柱子到第三根柱子 8 第8步：移动第4个塔从第一根柱子到第二根柱子 9 第9步：移动第1个塔从第三根柱子到第二根柱子10 第10步：移动第2个塔从第三根柱子到第一根柱子11 第11步：移动第1个塔从第二根柱子到第一根柱子12 第12步：移动第3个塔从第三根柱子到第二根柱子13 第13步：移动第1个塔从第一根柱子到第三根柱子14 第14步：移动第2个塔从第一根柱子到第二根柱子15 第15步：移动第1个塔从第三根柱子到第二根柱子

　　3）求最值

　  在n个元素中找出最大元素和最小元素。我们可以把这n个元素放在一个数组中，用直接比较法求出。算法如下：

void maxmin1(int A[],int n,int *max,int *min)
{ int i;
*min=*max=A[0];
for(i=0;i <= n;i++)
{ if(A[i]> *max) *max= A[i];
if(A[i] < *min) *min= A[i];
}
}
上面这个算法需比较2(n-1)次。能否找到更好的算法呢？我们用分治策略来讨论。
把n个元素分成两组：
A1={A[1],...,A[int(n/2)]}和A2={A[INT(N/2)+1],...,A[N]}
分别求这两组的最大值和最小值，然后分别将这两组的最大值和最小值相比较，求出全部元素的最大值和最小值。如果A1和A2中的元素多于两个，则再用上述方法各分为两个子集。直至子集中元素至多两个元素为止。
例如有下面一组元素：-13，13，9，-5，7，23，0，15。用分治策略比较的算法如下：
void maxmin2(int A[],int i,int j,int *max,int *min)
/*A存放输入的数据，i，j存放数据的范围，初值为0，n-1，*max,*min 存放最大和最小值*/
{ int mid,max1,max2,min1,min2;
if (j==i) {最大和最小值为同一个数;return;}
if (j-1==i) {将两个数直接比较，求得最大和最小值；return；}
mid=(i+j)/2;
求i~mid之间的最大最小值分别为max1，min1;
求mid+1~j之间的最大最小值分别为max2，min2;
比较max1和max2，大的就是最大值;
比较min1和min2，小的就是最小值;
}

         

    3）棋盘覆盖

在一个(2^k)*(2^k)个方格组成的棋盘上，有一个特殊方格与其他方格不同，称为特殊方格，称这样的棋盘为一个特殊棋盘。我们要求对棋盘的其余部分用L型方块填满（注：L型方块由3个单元格组成。即围棋中比较忌讳的愚形三角，方向随意），且任何两个L型方块不能重叠覆盖。L型方块的形态如下：

题目的解法使用分治法，即子问题和整体问题具有相同的形式。我们对棋盘做一个分割，切割一次后的棋盘如图1所示，我们可以看到棋盘被切成4个一样大小的子棋盘，特殊方块必定位于四个子棋盘中的一个。假设如图1所示，特殊方格位于右上角，我们把一个L型方块（灰色填充）放到图中位置。这样对于每个子棋盘又各有一个“特殊方块”，我们对每个子棋盘继续这样分割，直到子棋盘的大小为1为止。

用到的L型方块需要（4^k-1)/3 个，算法的时间是O（4^k)，是渐进最优解法。

本题目的C语言的完整代码如下（TC2.0下调试），运行时，先输入k的大小，(1<=k<=6)，然后分别输入特殊方格所在的位置(x,y), 0<=x,y<=(2^k-1)。

  
  


  4）找出伪币

给你一个装有1 6个硬币的袋子。1 6个硬币中有一个是伪造的，并且那个伪造的硬币比真的硬币要轻一些。你的任务是找出这个伪造的硬币。为了帮助你完成这一任务，将提供一台可用来比较两组硬币重量的仪器，利用这台仪器，可以知道两组硬币的重量是否相同。比较硬币1与硬币2的重量。假如硬币1比硬币2轻，则硬币1是伪造的；假如硬币2比硬币1轻，则硬币2是伪造的。这样就完成了任务。假如两硬币重量相等，则比较硬币3和硬币4。同样，假如有一个硬币轻一些，则寻找伪币的任务完成。假如两硬币重量相等，则继续比较硬币5和硬币6。按照这种方式，可以最多通过8次比较来判断伪币的存在并找出这一伪币。

另外一种方法就是利用分而治之方法。假如把1 6硬币的例子看成一个大的问题。第一步，把这一问题分成两个小问题。随机选择8个硬币作为第一组称为A组，剩下的8个硬币作为第二组称为B组。这样，就把1 6个硬币的问题分成两个8硬币的问题来解决。第二步，判断A和B组中是否有伪币。可以利用仪器来比较A组硬币和B组硬币的重量。假如两组硬币重量相等，则可以判断伪币不存在。假如两组硬币重量不相等，则存在伪币，并且可以判断它位于较轻的那一组硬币中。最后，在第三步中，用第二步的结果得出原先1 6个硬币问题的答案。若仅仅判断硬币是否存在，则第三步非常简单。无论A组还是B组中有伪币，都可以推断这1 6个硬币中存在伪币。因此，仅仅通过一次重量的比较，就可以判断伪币是否存在。

假设需要识别出这一伪币。把两个或三个硬币的情况作为不可再分的小问题。注意如果只有一个硬币，那么不能判断出它是否就是伪币。在一个小问题中，通过将一个硬币分别与其他两个硬币比较，最多比较两次就可以找到伪币。这样，1 6硬币的问题就被分为两个8硬币（A组和B组）的问题。通过比较这两组硬币的重量，可以判断伪币是否存在。如果没有伪币，则算法终止。否则，继续划分这两组硬币来寻找伪币。假设B是轻的那一组，因此再把它分成两组，每组有4个硬币。称其中一组为B1，另一组为B2。比较这两组，肯定有一组轻一些。如果B1轻，则伪币在B1中，再将B1又分成两组，每组有两个硬币，称其中一组为B1a，另一组为B1b。比较这两组，可以得到一个较轻的组。由于这个组只有两个硬币，因此不必再细分。比较组中两个硬币的重量，可以立即知道哪一个硬币轻一些。较轻的硬币就是所要找的伪币

 六、总结

分治法的复杂性分析：

　　一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：

　　T（n）= k T(n/m)+f(n)

　　通过迭代法求得方程的解：

　　递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当mi≤n<mi+1时，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

运用分治策略解决的问题一般来说具有以下特点：

1、原问题可以分解为多个子问题

这些子问题与原问题相比，只是问题的规模有所降低，其结构和求解方法与原问题相同或相似。

2、原问题在分解过程中，递归地求解子问题

由于递归都必须有一个终止条件，因此，当分解后的子问题规模足够小时，应能够直接求解。

3、在求解并得到各个子问题的解后

应能够采用某种方式、方法合并或构造出原问题的解。

不难发现，在分治策略中，由于子问题与原问题在结构和解法上的相似性，用分治方法解决的问题，大都采用了递归的形式。在各种排序方法中，如归排序、堆排序、快速排序等，都存在有分治的思想。