极大似然法估计

hit2015spring晨凫追风

欢迎关注我的博客：http://blog.csdn.NET/hit2015spring

举个例子：
张无忌和宋青书分别给周芷若送一个糖果，周芷若最后只接受一个糖果，问周芷若接受了谁的糖果。大部分的人肯定会说，当然是张无忌了。
这里面就蕴含了极大似然的思想。因为周芷若接受张无忌的概率大于宋青书呀，而故事的最后周芷若接受了一颗糖果这个事实发生了，所以我们自然选择发生概率大的那个了。

一个函数总体的分布是f(x;θ1,θ2,⋯,θk)。样本X1,X2,⋯,Xn是从总体中抽出的样本，这些样本独立同分布（是极大似然的前提条件），则这些样本(X1,X2,⋯,Xn)服从的分布就是：
f(x1;θ1,θ2,⋯,θk)f(x2;θ1,θ2,⋯,θk)⋯f(xn;θ1,θ2,⋯,θk)
因为独立同分布，所以可以乘。把上面函数记为L(x1,⋯,xn;θ1,⋯,θk)

1∘当我们固定θ1,⋯,θk时，看做是x1,⋯,xn的函数，L是一个概率密度函数或者概率函数。

这样理解：若L(X1,⋯,Xn;θ1,⋯,θk)<L(Y1,⋯,Yn;θ1,⋯,θk),则我们可以认为(Y1,⋯,Yn)这个点出现的可能性要大于(X1,⋯,Xn)这些点出现的概率。

2∘当我们固定x1,⋯,xn时，L(X1,⋯,Xn;θ1,⋯,θk)看做是θ1,⋯,θk的函数，L是一个似然估计，这个函数在一个固定的观察结果x1,⋯,xn的取值下，参数值θ1,⋯,θk可以看成是导致这个结果出现的原因，因为出现了周芷若接受糖果的事了，所以我们就让这件事情发生的概率最大，所以就叫张无忌去送糖果。张无忌就是那个θ⃗ 1,⋯,θ⃗ k。当然这里面的θ1,⋯,θk是有一定的值的（并不是任何值都可以），并不是随便一个人送糖果都可以的对吧。这里还包含了贝叶斯学派和频率主义学派两家的观点问题。频率主义学派认为参数是虽然是未知的，但是它是一个客观存在的固定值，因此可以通过优化似然函数等一些准则来确定参数值；但是贝叶斯学派认为参数是未观察到的随机变量，其本身也可以有分布，因此可以假定参数服从一个先验分布，然后基于观测到的数据来计算参数的后验分布。上面的估计方法就是传统的频率主义学派所认为的观点，就是一个事件的概率分布参数是存在的，我们需要优化似然函数这样的函数来求解得到参数。既然能发生，说明它出现的概率就是大，就像能考到清北的孩子优秀的概率肯定大于一般高校的孩子（一般这样认为）。
所以我们就去求当满足取样值的条件下，似然函数最大的那个参数就ok即：

L(X1,⋯,Xn;θ∗1,⋯,θ∗k)=maxθ1,⋯,θkL(Y1,⋯,Yn;θ1,⋯,θk)

即选择使得似然条件最大的参数作为原始参数的估计值。当然为了使得似然函数计算和不至于上溢，选择对原始似然函数去对数，叫做对数似然，于是就是优化下面的函数

lnL=∑i=1nlnf(Xi;θ1,⋯,θk)

为了使得L达到最大，只需对lnL取偏导，就可以建立方程组：

∂lnL∂θi=0