最大子阵和（百度2017秋招真题）

题目描述
给出一个n行m列的二维矩阵A[m,n]，其每个元素的取值范围是[-1000,1000]，其中1＜=n＜=100,1＜=m＜=100。求出p,q,r,s，满足条件1＜=p＜=q＜=n,1＜=r＜=s＜=m
且p＜=i＜=q,r＜=j＜=s的(i,j)对应的A[i,j]之和最大。
若(p,q,r,s)有多个解，输出最大子阵和即可。

输入

第一行表示测试样例的组数Te（Te＜=10）。

对于每组测试样例，其第一行包含两个数n和m，其中1＜=n＜=100,1＜=m＜=100，接下来n行，每行有m个数，表示A[i,j]中的元素，满足-1000＜=A[i,j]＜=1000。

样例输入

1
1 5
2 3 -19 1 1

输出

对每组测试数据，单独输出一行答案。

样例输出

5

时间限制C/C++语言：1000MS其它语言：3000MS

内存限制C/C++语言：65536KB其它语言：589824KB

原题参见：点击打开链接

思路分析：

这是一道动态规划题。可以参照 最大子数组和 的思路来写。假设数组为A[1...n][1...m], 设dp[n+1][m+1], 且 dp[i][j]为 A[1...i][1...j]的子矩阵的和。则有递推公式

dp[i][j]= dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + A[i][j]

对于p,q,r,s,组成的子矩阵的和， 我们有公式

sum = dp[q][s] - dp[p-1][s] - dp[q][r-1] + dp[p-1][r-1]

如下图所示：

假设求(2,2) 到(4,4)的面积， 我们有

R(2,2)(4,4) = dp[4][4] - dp[1][4] - dp[4][1] + dp[1][1]

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int main() {    //freopen("input.txt","r",stdin);    int T;    cin>>T;    int A[102][102];    while(T--) {        int n,m;        cin>>n>>m;        for(int i =1 ; i <= n; i++) {            for(int j = 1; j <= m; j++) {                cin>>A[i][j];            }        }        int dp[n+1][m+1];        memset(dp,0,sizeof(dp));        for(int i = 1; i <= n; i++) {            for(int j = 1; j <= m; j++) {                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] -dp[i-1][j-1] + A[i][j];            }        }        int res = INT_MIN;        for(int p = 1; p <= n; p++) {            for(int q = p; q <= n; q++) {                for(int r = 1; r <= m; r++) {                    for(int s = r; s <= m; s++) {                        int sum = dp[q][s] - dp[p-1][s] - dp[q][r-1] + dp[p-1][r-1];                        res = max(res,sum);                    }                }            }        }        cout<<res<<endl;    }    return 0;}

以上算法是O(n^4)复杂度，参考 点击打开链接  ， 我们给出O(n^3)的算法如下所示

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<vector>#include<algorithm>#include<memory.h>using namespace std;int main() {    //freopen("input.txt","r",stdin);    int N;    cin>>N;    int mat[102][102];    int dp[102][102];    for(int i = 1; i <= N; i++) {        for(int j = 1; j <= N; j++) {            cin>>mat[i][j];        }    }    memset(dp,0,sizeof(dp));    for(int i = 1; i <= N; i++) {        for(int j = 1; j <= N; j++) {            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1]  + mat[i][j];        }    }    int res = 0;    for(int p = 1; p <= N; p++) {        for(int q = p; q <= N; q++) {            int sum = 0;            for(int k = 1; k <= N; k++) {                int rect = dp[q][k] - dp[q][k-1] - dp[p-1][k] + dp[p-1][k-1];                if(sum > 0) sum += rect;                else sum = rect;                if(sum > res) res = sum;            }        }    }    cout<<res<<endl;    return 0;}