证明:EXACT 4SAT is NP-complete
来源:互联网 发布:win7怎么远程控制mac 编辑:程序博客网 时间:2024/05/23 16:54
题目:
In the EXACT 4SAT problem, the input is a set of clauses, each of which is a disjunction of exactly four literals, and such that each variable occurs at most once in each clause. The goal is to find a satisfying assignment, if one exists. Prove that EXACT 4SAT is NP-complete.
在精确的4SAT(EXACT 4SAT)问题中,输入为一组字句,每个子句都是恰好4个文字的析取,且每个变量最多在子句中出现一次。目标是求他的满足赋值,如果该赋值存在,证明精确的4SAT问题是NP完全问题。
证明:
为了证明EXACT 4SAT问题是NP完全的,我们需要寻找一个已知的NP完全问题,并把其规约到EXACT 4SAT问题。这里可以轻易地想到了3SAT问题。我们已知3SAT是NP完全的,所以接下来我们把3SAT问题规约到EXACT 4SAT问题。
首先观察3SAT问题的基本形式:
(x∨y∨z)(x∨~y∨~z)(~x∨y)
为了把3SAT转变为EXACT 4SAT问题,我们可以在每个字句中添加新的变量,称之为哑元变量。例如上面的例子可转化为:
(x∨y∨z∨a1)(x∨~y∨~z∨a2)(~x∨y∨a3∨a4)
可以知道,这种从3SAT转变为EXACT 4SAT问题的方法是多项式时间的。并且,我们证明这样的规约是有效的:
(1)对于可以满足3SAT问题的取值,必定存在一组变量ai,使其也转化后的EXACT 4SAT问题也满足;
(2)如果我们把一组变量ai的全部取值都为0,那么EXACT 4SAT问题又回到了它对应的3SAT问题。
因此,我们把3SAT问题规约到了EXACT 4SAT问题,也就证明了EXACT 4SAT问题为NP完全问题。
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