矩阵相乘最优顺序---动态规划

数据结构与算法分析---Java描述（第三版） 10.3.2

虽然矩阵乘法运算是不可交换的，但它是可结合的。这就意味着矩阵的乘积可以以任意顺序添加括号然后再计算其值。

例如:

给定四个矩阵ABCD。A的维数=50 X10，B的维数=10 X 40，C的维数=40 X 30，D的维数=30X5

利用书中算法核心代码模拟矩阵相乘最优顺序，代码如下:

import java.util.Random;public class MatrixMulBestOrder {    private static int[][] sign;    private static int d[][]=new int[102][2];//d[i][0]为第i个空隙中左括号的数量，d[i][1]为第i个空隙中右括号的数量    private static final int N=10;    public static void main(String[] args) {        /*        模拟10个矩阵，行列数存储在数组c中        对于1<=i<=N,令c[i]是矩阵A(i)的列数。于是A(i)有c[i-1]行。        */        int row,col;        int[] c=new int[N+1];//只有10个矩阵，但是创建容量为11的数组，c[0]是第一个矩阵的行数        Random random=new Random();        row = random.nextInt(60)+1;        c[0]=row;//只需给第1个矩阵的行赋值，因为其他矩阵的行数即为前一个矩阵的列数        /*          c[1]才是第1个矩阵的列数,c[10]是第10个矩阵的列数        */        for (int i=1;i<=N;i++) {            col=random.nextInt(60)+1;            c[i]=col;        }        for(int i=1;i<=N;i++){            System.out.print("---第"+i+"个矩阵的行、列数为"+c[i-1]+","+c[i]+"---");            if (i%5==0) System.out.println();        }        //输出c数组        /*System.out.println("数组c:");        for (int i=0;i<=N;i++)            System.out.print(c[i]+" ");        System.out.println();*/        long[][] m=new long[N+1][N+1];        int[][] lastChange=new int[N+1][N+1];        optMatrix(c,m,lastChange);        for (int j=1;j<=N+1;j++){            d[j][0]=0;            d[j][1]=0;        }        numBrackets(1,N);        for (int j=1;j<=N+1;j++){            for (int t=0;t<d[j][1];t++) //由于不可能出现先左括号后右括号相邻的情况，因此右括号先输出                System.out.print(")");            if (j>1&&j<N+1)                System.out.print("*");            for (int t=0;t<d[j][0];t++)                System.out.print("(");            if(j<N+1)                System.out.print("A"+j);        }    }    public static void optMatrix(int[] c,long[][] m,int[][] lastChange){        int n=c.length-1;//c有n        for (int left=1;left<=n;left++) {            /*            m[left][right]是进行矩阵乘法A(left)A(left+1)...A(right-1)A(right)所需要的乘法次数。            当只有1个矩阵时，乘法次数为0,所以m[left][left]=0;             */            m[left][left] = 0;        }        for(int k = 1; k < n; k++)            for(int left = 1; left <= n-k; left++){                int right = left + k;                m[ left ][ right ] = Long.MAX_VALUE;                for( int i = left; i < right; i++){                    /*                        这三项分别代表计算A(left)...A(i),A(i+1)...A(right)以及它们的乘积所需的乘法次数                    */                    long thisCost = m[ left ][ i ] + m[ i + 1][ right ]                            + c[ left - 1] * c[ i ] * c[ right ];                    if (thisCost < m[ left ][ right ]){ //Update min                        m[ left ][ right ] = thisCost;                        lastChange[ left ][ right ] = i;// i为m[left][right]最小时的分割两段矩阵的位置                    }                }            }        sign=lastChange;        //输出m数组        /*for (int x=0;x<=N;x++)            for (int y=0;y<=N;y++) {                System.out.print(m[x][y]+"  ");                if (y==N) System.out.println();            }*/        //输出lastChange数组        for (int x=0;x<=N;x++)            for (int y=0;y<=N;y++) {                System.out.print(lastChange[x][y]+"  ");                if (y==N) System.out.println();            }        /*        "第"+left+"个矩阵到第"+right+"个矩阵所需乘法次数为:"+m[left][right]         */        int huanhang=1;        for(int left=1;left<N;left++){            for(int right=left+1;right<=N;right++){                System.out.print(left+"->"+right+": "+m[left][right]+"  ");                if (huanhang%5==0) System.out.println();                huanhang++;            }        }    }    /*    为每个间隔i确定左、右括号数量    (括号 和 *号)     */    private static void numBrackets(int left,int right){        if(right-left<=1) return;        int i=sign[left][right];        if (i>left){            d[left][0]++;            d[i+1][1]++;        }        if (right>i+1){            d[i+1][0]++;            d[right+1][1]++;        }        numBrackets(left, sign[left][right]);        numBrackets(sign[left][right] + 1, right);    }}

随机生成10个矩阵的代码输出: