欧拉筛法与积性函数

欧拉筛法

普通的筛法，即Eratosthenes筛法，复杂度为O(nloglogn)，当范围大时，就扛不住了，需要利用欧拉筛法，也称线性筛法，下面还会介绍利用欧拉筛法的优美性质来求积性函数。
先给出欧拉筛法的代码：

for(int i=2;i<=n;i++){    if(vis[i])prime[++prime[0]]=i;    for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]*i<=n;j++){        vis[i*prime[j]]=0;        if(!(i%prime[j]))break;    }}

欧拉筛法的思想是：
1.如果这个数是质数，那么就将它与之前的质数的乘积挖掉
2.如果这个数是合数，那么就将它与从2到它最小的质因子之间的质数的乘积分别挖掉
考虑一个数n=p1k1∗p2k2∗......，对于大于p1的质数j，令k′=n/p1，n∗j=p∗k′∗j，所以这样的数可以通过p1来筛到，没有必要再去枚举。并且，这样的话，n只有可能会被p1k1−1∗p2k2∗......筛到，所以每个数只会被筛一次。所以，它的复杂度为O(n)

用欧拉筛法求欧拉函数

先来回顾一下欧拉函数有什么性质：
1.它是一个积性函数，即当(i,j)=1,ϕ(i∗j)=ϕ(i)∗ϕ(j)
2.对于任意的质数p，ϕ(p)=p−1
3.对于任意的质数p，ϕ(pk)=(p−1)∗pk−1
所以我们分两种情况讨论：
1.n%p>0
显然，ϕ(n∗p)=ϕ(n)∗(p−1)
2.n%p=0
由于n，p不互质，所以不能直接用积性推了。假设n中有k个p这个质因子，ϕ(n∗p)=ϕ(n/pk)∗ϕ(pk+1)=ϕ(n/pk)∗pk∗(p−1)=ϕ(n/pk)∗ϕ(pk)∗p=ϕ(n)∗p
代码如下：

for(int i=2;i<=n;i++){    if(vis[i])prime[++prime[0]]=i,phi[i]=i-1;    for(int j=1;j<=prime[0]&&prime[j]*i<=n;j++){        vis[i*prime[j]]=0;        if(!(i%prime[j])){            phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];            break;        }        phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);    }}