线性筛法与积性函数

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神犇的博客：浅谈一类积性函数的前缀和

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线性筛法

//线性筛法求质数。memset(mark,0,sizeof(mark));pt=0;for(int i=2;i<=N;i++){    if(!mark[i]){        prime[pt++]=i;        mark[i]=i;    }    for(int j=0,u=dmin(mark[i],N/i);j<pt&&prime[j]<=u;j++)        mark[prime[j]*i]=prime[j];}

marki 表示 i，除 1 以外的最小因子。
primei 维护质数序列。
保证 1~n 内的每一个合数被且只被除1外最小的因子筛过一次，对于当前处理到的 i 枚举小于marki 的所有质数，将后面的数筛过一遍。时间复杂度O(n) 。

证明正确性：每一个合数被且只被除1外最小的因子筛过一次。

设合数 P=p1^k1× p2^k2×p3^k3×…×pn^kn
其中p1,p2,p3...pn 为质数，且p1<p2<p3...<pn；k1,k2,k3...kn 为正整数。

若P不是被 P’=p1^(k1-1)×p2^k2×p3^k3×…×pn^kn 经过 p1 筛到，
则任意一个除去一个其他因子pj得到的数都只能枚举到p1 。由已知条件，pj>p1，则无法筛到P。

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积性函数
1.定义。若f(n) 是积性函数，则当gcd(a,b)=1时，f(a×b)=f(a)×f(b) 。
若f(a×b)=f(a)×f(b) ，无限制条件，则f(n) 被成为完全积性函数。

2.性质。
1）gcd(a,b)=1时，f(a×b)=f(a)×f(b)
2）f(1)=1

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欧拉函数
1.定义：
其中p1, p2……pn为x的所有质因数（只出现一次），x是不为0的整数。

2.数学意义：φ(n) 表示表示 [1,n] 中n 的互质数个数。

3.性质。
1）φ(n)为积性函数，非完全积性。

2）欧拉定理：若gcd(a,p)=1 ，则aφ(p)≡1(modp)。
⟹费马小定理：若gcd(a,p)=1 ，且p是质数，则 ap−1≡1(modp) 。

3）∑d|nφ(d)=n 神犇的详解：法里级数展开证明

4）线性筛法原理：
φ(n)=∏ipki−1i(pi−1)

//线性筛法求欧拉函数。memset(phi,0,sizeof(phi));pt=0,phi[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++){    if(!phi[i]){        prime[pt++]=i;        phi[i]=i-1;     }    for(int j=0,u=N/i;j<pt&&prime[j]<=u;j++)    {        if(i%prime[j]==0)        {            phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];            break；        }        else phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);    }}

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莫比乌斯函数
神犇的详解

1.莫比乌斯反演：若f(d) 是积性函数，则如下g(n) 也是积性函数。
g(n)=∑d|nf(d)→f(n)=∑d|nμ(d)g(nd)

2.应用：通过g(n) 的值推出f(d) 的值。

3.莫比乌斯函数μ(n)。
1）函数式：∑d|nμ(d)=[n=1]
2）求解μ(m) ：由积性函数性质拆分为若干μ(pk) 分别求解。有如下规律：μ(1)=1,μ(p)=−1,μ(pk)=0(k>=2) 。

//线性筛法求莫比乌斯函数。memset(miu,0,sizeof(miu));memset(mark,0,sizeof(mark));pt=0,miu[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++){    if(!mark[i]){        prime[pt++]=i;        miu[i]=-1;     }    for(int j=0,u=N/i;j<pt&&prime[j]<=u;j++)    {        mark[prime[j]*i]=1;        if(i%prime[j]==0)        {            miu[prime[j]*i]=0;            break;        }        else miu[prime[j]*i]=-miu[i];    }}

注： marki 表示是否是质数。

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乘法逆元
1.定义：如果ax≡1(modp),且gcd(a,p)=1，则称 a 关于模 p 的乘法逆元为 x。
2.应用。：
目标：求解 ab(modp) 的值。

若gcd(a,b)=1，则无法用直接利用模运算求得。

设k=f(b) (f(b)表示 b 在模 p 意义下的乘法逆元）
则 ab(modp) 等价于 a×k(modp) 可求解。

3.证明。
若ax≡1(modp),且gcd(a,p)=1
则 p|(ax−1) 等价于：ax−1=py,y∈Z
写作 ax+py=1 不影响 x 解的结果。

通过exgcd求得x，y的整数解。

//扩展欧几里得算法求逆元。void exgcd(int a,int b,ll &x,ll &y){    if(b==0)x=1,y=0;    else    {        exgcd(b,a%b,x,y);        ll tmp=x;        x=(y+mod)%mod;        y=(tmp-(a/b)*y%mod+mod)%mod;    }}

若要求[1,n] 内所有数的乘法逆元？
exgcd的复杂度为 logn ，且有 nlnn≈nlogn 个质数。暴力exgcd就可以得出，但有更简单的方法。
神犇的证明

//线性筛法求逆元。inv[1]=1;for(int i=2;i<maxn;++i)    inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

终于都懂了！bravo。