[51nod1190]最小公倍数之和V2

Description

给出a,b，求

∑i=abgcd(i,b)

a,b<=1e9,数据组数<=1e5,答案对1e9+7取模

Solution

看到gcd想反演（然而这个是lcm）
这个反演不是正常套路
坑了我好久才跳出来
首先

ans=b∑d|b1d∑i=abi[gcd(i,b)=d]

=b∑d|b∑i=⌈ad⌉bdi[gcd(i,bd)=1]

然后到这里就有些推不下去了
但其实有种操作叫做∑d|nμ(d)=[n=1]
所以我们可以强行把上面这个式子套上mu
而不是用反演的常用套路设f(x)和g(x)把mu套进去
如果你去设f(x)和g(x)你会发现g(x)也非常难化
我们继续

ans=b∑d|b∑i=⌈ad⌉bdi∑d′|gcd(i,bd)μ(d′)

=b∑d|b∑d′|bdμ(d′)∑i=⌈ad⌉bd[imodd′=0]

=b2∑d|b∑d′|bdμ(d′)d′(⌊bdd′⌋+⌈add′⌉)(⌊bdd′⌋−⌈add′⌉+1)

根据套路枚举T=dd’，

ans=b2∑T|b(⌊bT⌋+⌈aT⌉)(⌊bT⌋−⌈aT⌉+1)∑d|Tμ(d)d

这样我们就只需要枚举b的约数就可以了
但是还有一部分要处理，就是那个∑d|Tmu(d)d
显然可以线筛但是b太大不兹瓷
根据莫比乌斯反演的性质我们可知f(T)=∑d|Tmu(d)d时f(T)也是积性函数
那么我们可以知道f(pk)=1−p
然后再枚举约数的同时求出f就可以做到O(n√)处理询问
于是总复杂度大概是O(Tn√)，在数据随机的情况下可以在1s内通过此题

UPD:写完才发现上面很多个下取整是没必要写的
不过没关系大家看得懂就行了_ (:з」∠) _
各位dalao有什么更好的方法欢迎拍打喂食