算法概论 8.8习题证明

问题

• STINGY SAT is the following problem: given a set of clauses (each a disjunction of literals) and an integer k, find a satisfying assignment in which at most k variables are true, if such an assignment exists. Prove that STINGY SAT is NP-complete.
  

在精确的4SAT(EXACT 4SAT)问题中，输入为一组字句，每个子句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果该赋值存在。证明精确的4SAT问题是NP完全问题。

证明

• 已知3SAT是NP完全问题，我们只需将3SAT问题归约到精确的4SAT问题，便可以证明它是NP完全问题。对于一个已有的3SAT问题，它的基本形式如下：

  (x⎯⎯⋁y⋁z⎯⎯)(x⋁y⎯⎯⋁z)(x⋁y⋁z)(x⎯⎯⋁y⎯⎯)

• 我们可以将一个3SAT问题扩充到任意一个精确的4SAT问题。也即在这些子句中加入一些哑元变量。对上例如下：

  (x⎯⎯⋁y⋁z⋁a1)(x⋁y⎯⎯⋁z⋁a2)(x⋁y⋁z⋁a3)(x⎯⎯⋁y⎯⎯⋁a4⋁a5)

• 这种加入哑元变量使得3SAT的公式变成精确4SAT的方法显然是多项式时间的。因为对于3SAT的可满足的取值，必存在一组变量a使得对应的精确4SAT公式也满足，所以这样的规约是有效的。
  反之，令精确4SAT公式中新加入的哑元变量取值都为1，则精确4SAT问题又回到了3SAT问题。
  因此以上的推理证明了3SAT问题是可以规约到精确4SAT问题的，也即精确4SAT是一个NPC问题。