算法概论习题8.8
来源:互联网 发布:mac dashboard是什么 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 13:58
在精确的4SAT(EXACT 4SAT)问题中,输入为一组子句,每个子句都是恰好4个文字的析取,且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果该赋值存在。证明精确的4SAT是NP-完全问题。
显然,4SAT问题是NP问题,所有可能的赋值总数的指数级的。现从3SAT归约到4SAT来证明4SAT为NP_完全问题:
给定3SAT的实例,对I中的任意子句(a1∨a2∨a3)转换为(a1∨a2∨a3∨y)(a1∨a2∨a3∨~y),我们记这样生成的4SAT实例为I',由I到I'的转换显然是多项式时间的。
接下来证明I和I'是等价的:
①若(a1∨a2∨a3)满足,则不管y是否为真,(a1∨a2∨a3∨y)和(a1∨a2∨a3∨~y)都为真,即(a1∨a2∨a3∨y)(a1∨a2∨a3∨~y)满足。
②反之,若(a1∨a2∨a3∨y)(a1∨a2∨a3∨~y)满足,即(a1∨a2∨a3∨y)和(a1∨a2∨a3∨~y)都为真,若y为真那么(a1∨a2∨a3)必须为真才可以保证(a1∨a2∨a3∨~y)为真,同理若y为假那么(a1∨a2∨a3)必须为真才可以保证(a1∨a2∨a3∨~y)为真,因此(a1∨a2∨a3)满足。
可见I和I'是等价的,即3SAT的任意实例都可以被转换成4SAT的一个等价实例。由于3SAT为NP_完全问题,所以4SAT也是NP_完全问题。
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