算法概论 习题8.12 证明
来源:互联网 发布:淘宝线上推广合同范本 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 13:49
问题描述:
k-生成树问题是这样的:
输入:无向图G=(V,E)
输出:G的一个生成树,其中所有节点度数都不超过k——如果该树存在。
请证明对任意k>=2:
(a) k-生成树问题是一个搜索问题;
(b) k-生成树问题是NP-完全的。(提示:由k=2开始,考虑该问题与Rudrata路径问题的关联。)
证明:
(a) 搜索问题的特征性定义是:任何可能解的正确性都能被快速检验。那么,对于k-生成树问题,如果给出一个可能解,那么,只需要检验给出的树G1=(V1,E1)是否满足以下条件,便可以判断出该解是正确与否的:
1 V1=V;
2 E1是E的子集;
3 对于V1中任意一点v,v的度数<=k。
只要以上三个条件满足,那么给出的可能解便是正确的。而以上三个条件都能在多项式时间内验证,即给出的可能借的正确性是能被快速验证的,因此k-生成树问题是搜索问题。
(b) 利用归约进行证明:
假设我们有得到对于任意k>=2的k-生成树问题解的算法,那么我们当然可以得到对于k=2这一特例的k-生成树问题的算法。根据定义,2-生成树所有节点度数都不超过k。那么,对于这样一棵树而言,必然有且只有有两个一度顶点(图论内容,不在此赘述)。以这两个一度顶点为起点和终点,这棵2-生成树本身便是一条图G的Rudrata路径。也就是说,k-生成树问题的算法可应用于Rudrata路径问题,所以Rudrata问题可归约为k-生成树问题。而Rudrata问题是NP-完全问题,所以k-生成树问题也是NP-完全问题。
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