三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)

样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。本篇介绍力求用容易理解的方式，介绍一下三次样条插值的原理，并附C语言的实现代码。

1. 三次样条曲线原理

假设有以下节点

1.1 定义

样条曲线 是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：

a. 在每个分段区间 （i = 0, 1, …, n-1，x递增）， 都是一个三次多项式。

b. 满足 （i = 0, 1, …, n ）

c. ，导数 ，二阶导数 在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。

所以n个三次多项式分段可以写作：

i = 0, 1, …, n-1

其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。

1.2 求解

已知:

a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n

b. 每一分段都是三次多项式函数曲线

c. 节点达到二阶连续

d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）

根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。

插值和连续性：

, 其中 i = 0, 1, …, n-1

微分连续性：

, 其中 i = 0, 1, …, n-2

样条曲线的微分式：


将步长 带入样条曲线的条件：

a. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出

b. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出

c. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出



由此可得：

d. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出

设 ，则

a. 可写为：

，推出

b. 将ci, di带入 可得：

c. 将bi, ci, di带入 (i = 0, 1, …, n-2)可得：


端点条件

由i的取值范围可知，共有n-1个公式， 但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组，还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。 选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。

a. 自由边界(Natural)

首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即 。具体表示为 和

则要求解的方程组可写为：


b. 固定边界(Clamped)

首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。则可以推出





将上述两个公式带入方程组，新的方程组左侧为



c. 非节点边界(Not-A-Knot)

指定样条曲线的三次微分匹配，即

根据 和 ，则上述条件变为

新的方程组系数矩阵可写为：



下图可以看出不同的端点边界对样条曲线的影响：

1.3 算法总结

假定有n+1个数据节点

a. 计算步长 (i = 0, 1, …, n-1)

b. 将数据节点和指定的首位端点条件带入矩阵方程

c. 解矩阵方程，求得二次微分值。该矩阵为三对角矩阵，具体求法参见后一篇。

d. 计算样条曲线的系数：


其中i = 0, 1, …, n-1

e. 在每个子区间 中，创建方程

2. C语言实现

用C语言写了一个三次样条插值(自然边界)的S-Function，代码如下：

#define S_FUNCTION_NAME cubic
#define S_FUNCTION_LEVEL 2
#include "simstruc.h"
#include "malloc.h" //方便使用变量定义数组大小

static void mdlInitializeSizes(SimStruct *S)
{
/*参数只有一个，是n乘2的定点数组[xi, yi]:
* [ x1，y1;
* x2, y2;
* ..., ...;
* xn, yn;
*/

ssSetNumSFcnParams(S, 1);
if (ssGetNumSFcnParams(S) != ssGetSFcnParamsCount(S)) return;
ssSetNumContStates(S, 0);
ssSetNumDiscStates(S, 0);

if (!ssSetNumInputPorts(S, 1)) return; //输入是x
ssSetInputPortWidth(S, 0, 1);
ssSetInputPortRequiredContiguous(S, 0, true);
ssSetInputPortDirectFeedThrough(S, 0, 1);

if (!ssSetNumOutputPorts(S, 1)) return; //输出是S(x)
ssSetOutputPortWidth(S, 0, 1);
ssSetNumSampleTimes(S, 1);
ssSetNumRWork(S, 0);
ssSetNumIWork(S, 0);
ssSetNumPWork(S, 0);
ssSetNumModes(S, 0);
ssSetNumNonsampledZCs(S, 0);

ssSetSimStateCompliance(S, USE_DEFAULT_SIM_STATE);

ssSetOptions(S, 0);
}


static void mdlInitializeSampleTimes(SimStruct *S)
{
ssSetSampleTime(S, 0, CONTINUOUS_SAMPLE_TIME);
ssSetOffsetTime(S, 0, 0.0);

}

#define MDL_INITIALIZE_CONDITIONS
#if defined(MDL_INITIALIZE_CONDITIONS)
static void mdlInitializeConditions(SimStruct *S)
{
}
#endif

#define MDL_START

#if defined(MDL_START)
static void mdlStart(SimStruct *S)
{
}
#endif /* MDL_START */

static void mdlOutputs(SimStruct *S, int_T tid)
{
const real_T *map = mxGetPr(ssGetSFcnParam(S,0)); //获取定点数据
const int_T *mapSize = mxGetDimensions(ssGetSFcnParam(S,0)); //定点数组维数
const real_T *x = (const real_T*) ssGetInputPortSignal(S,0); //输入x
real_T *y = ssGetOutputPortSignal(S,0); //输出y
int_T step = 0; //输入x在定点数中的位置
int_T i;
real_T yval;

for (i = 0; i < mapSize[0]; i++)
{
if (x[0] >= map[i] && x[0] < map[i + 1])
{
step = i;
break;
}
}

cubic_getval(&yval, mapSize, map, x[0], step);
y[0] = yval;
}

//自然边界的三次样条曲线函数
void cubic_getval(real_T* y, const int_T* size, const real_T* map, const real_T x, const int_T step)
{
int_T n = size[0];

//曲线系数
real_T* ai = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T* bi = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T* ci = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T* di = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T* h = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); //x的??

/* M矩阵的系数
*[B0, C0, ...
*[A1, B1, C1, ...
*[0, A2, B2, C2, ...
*[0, ... An-1, Bn-1]
*/

real_T* A = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2));
real_T* B = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2));
real_T* C = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2));
real_T* D = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); //等号右边的常数矩阵
real_T* E = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); //M矩阵
real_T* M = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n)); //包含端点的M矩阵
int_T i;

//计算x的步长
for ( i = 0; i < n -1; i++)
{
h[i] = map[i + 1] - map[i];
}

//指定系数
for( i = 0; i< n - 3; i++)
{
A[i] = h[i]; //忽略A[0]
B[i] = 2 * (h[i] + h[i+1]);
C[i] = h[i+1]; //忽略C(n-1)
}

//指定常数D
for (i = 0; i3; i++)
{
D[i] = 6 * ((map[n + i + 2] - map[n + i + 1]) / h[i + 1] - (map[n + i + 1] - map[n + i]) / h[i]);
}

//求解三对角矩阵，结果赋值给E
TDMA(E, n-3, A, B, C, D);
M[0] = 0; //自然边界的首端M为0
M[n-1] = 0; //自然边界的末端M为0

for(i=1; i<>1; i++)
{
M[i] = E[i-1]; //其它的M值
}

//?算三次样条曲线的系数
for( i = 0; i < n-1; i++)
{
ai[i] = map[n + i];
bi[i] = (map[n + i + 1] - map[n + i]) / h[i] - (2 * h[i] * M[i] + h[i] * M[i + 1]) / 6;
ci[i] = M[i] / 2;
di[i] = (M[i + 1] - M[i]) / (6 * h[i]);
}

*y = ai[step] + bi[step]*(x - map[step]) + ci[step] * (x - map[step]) * (x - map[step]) + di[step] * (x - map[step]) * (x - map[step]) * (x - map[step]);

free(h);
free(A);
free(B);
free(C);
free(D);
free(E);
free(M);
free(ai);
free(bi);
free(ci);
free(di);
}

void TDMA(real_T* X, const int_T n, real_T* A, real_T* B, real_T* C, real_T* D)
{
int_T i;
real_T tmp;

//上三角矩阵
C[0] = C[0] / B[0];
D[0] = D[0] / B[0];

for(i = 1; i)
{
tmp = (B[i] - A[i] * C[i-1]);
C[i] = C[i] / tmp;
D[i] = (D[i] - A[i] * D[i-1]) / tmp;
}

//直接求出X的最后一个值
X[n-1] = D[n-1];

//逆向迭代， 求出X
for(i = n-2; i>=0; i--)
{
X[i] = D[i] - C[i] * X[i+1];
}
}

#define MDL_UPDATE
#if defined(MDL_UPDATE)
static void mdlUpdate(SimStruct *S, int_T tid)
{
}
#endif

#define MDL_DERIVATIVES
#if defined(MDL_DERIVATIVES)
static void mdlDerivatives(SimStruct *S)
{
}
#endif

static void mdlTerminate(SimStruct *S)
{
}

#ifdef MATLAB_MEX_FILE
#include "simulink.c"
#else
#include "cg_sfun.h"
#endif

3. 例子

以y=sin(x)为例, x步长为1，x取值范围是[0,10]。对它使用三次样条插值，插值前后对比如下：


三对角矩阵(Tridiagonal Matrices)的求法：Thomas Algorithm(TDMA)

做三次样条曲线时，需要解三对角矩阵（Tridiagonal Matrices）。常用解法为Thomas Algorithm，又叫The tridiagonal matrix algorithm (TDMA)。它是一种基于高斯消元法的算法， 分为两个阶段：向前消元forward elimination和回代backward substitution。本文以一个6乘6矩阵为例，介绍一下使用TDMA的求解过程。

1.范例求解

步骤1： 将矩阵变为上三角矩阵

首先要把上面公式中的系数矩阵变为一个上三角矩阵。

第一行：



将上式除以b1：



可写作：



所以矩阵方程可写为：


第二行：



将变换后的第一行乘以a2，再与第二行相减，即可消去x1，得：



所以新的矩阵方程为：


同理可推，

第三行：



第四行：



第五行：



第六行：



最后得到新的上三角矩阵公式为：


步骤2：求解

x逆序可以求出，如下：

2. 一般性公式：

注意：

使用TDMA求解，系数矩阵需时diagonally dominant， 即：

3. 实现代码（C语言）

void tdma(float x[], const size_t N, const float a[], const float b[], float c[])
{
size_t n;
c[0] = c[0] / b[0];
x[0] = x[0] / b[0];
for (n = 1; n < N; n++) {
float m = 1.0f / (b[n] - a[n] * c[n - 1]);
c[n] = c[n] * m;
x[n] = (x[n] - a[n] * x[n - 1]) * m;
}

for (n = N - 1; n-- > 0; )
x[n] = x[n] - c[n] * x[n + 1];

}

双线性插值(Bilinear Interpolation)

最近用到插值算法，使用三次样条插值时仿真速度太慢，于是采用算法简单的线性插值。本篇主要介绍一下双线性插值的实现方法。

1. 线性插值

已知坐标 (x0, y0) 与 (x1, y1)，要得到 [x0, x1] 区间内某一位置 x 在直线上的值。


由于 x 值已知，所以可以从公式得到 y 的值

已知 y 求 x 的过程与以上过程相同，只是 x 与 y 要进行交换。

2. 双线性插值(Bilinear Interpolation)

在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。



图中：红色的数据点与待插值得到的绿色点

假如我们想得到未知函数 f 在点 P = (x, y) 的值，假设我们已知函数 f 在 Q11 = (x1, y1)、Q12 = (x1, y2), Q21 = (x2, y1) 以及 Q22 = (x2, y2) 四个点的值。

首先在 x 方向进行线性插值，得到



然后在 y 方向进行线性插值，得到
                           

这样就得到所要的结果 f(x, y)，



双线性插值在三维空间的延伸是三线性插值。