cubic convolution interpolation （三次卷积插值）

算法来源：Cubic convolution interpolation for digital image processing

文章只对一维情形进行分析，二维类似。

许多插值函数能够写成形式（其中是插值点，u是基函数(文章中叫插值核)，h是采样间隔，是参数）

通过插值，用来近似。

cubic convolution interpolation 中插值核u定义为子区间(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2)上的分块三次多项式，并且在(-2,2)外为0。插值核必须是对称的（我也不知为啥），这就意味着，u有如下形式：

插值核必须有(这是基函数定义吧，为了方便计算,如果不这么定义的话，cj计算就比较麻烦)。因此有

因此，u必须满足：u(0)=1,u(1) = u(2)=0，且连续，即满足以下方程：

更进一步假设u'连续，得：

这里有七个方程，但是有八个未知量，所以至少有一个自由变量。[1]中采用。在这篇paper里面，将选择一个，使得有更高阶的近似（假设设原函数至少存在三阶连续导数）。

先假设,则，解出u为：

假设x是任意一个点，它的值将由插值得到。设,令

由于,插值函数能够被写成：

进一步，由于u在(-2,2)外为0，且0<s<1，(5)可写为：

将(4)知：

代入(6)，得到：

假设在存在三阶连续导数。由泰勒公式得到（注意是大O）：

类似的：

将这三个式子代入（7），得到：

由于, 将进行Taylor展开,得到：

(12) - (11)得到：

为了使得能够以更高阶地近似，则有,这就得出.这时有：

最终得到：

下面分析边界条件。可以看到前面的结果用了,但是，现实情况中采样是有限的，在边界的时候，这些值是不知道的，这就使我们必须处理好边界。

假设所有采样点位于[a,b]中且.我们要做的，就是估计和。按照前面的公式(6),的插值为：

将(15)代入，得到：

（对比的泰勒展开）要使得g是f的三阶近似，即,就必须有的系数为0.

由此得到：。接下来要验证确实有。

将

代入(18),有

将f,在各位置进行Taylor展开，得到：

代入(20)得到：

由：

两式相减，得到确实有

同样的，可以得到：

我们计算出和后，就可用插值函数对各点求插值了。

二维情形的插值函数为：

边界条件：

[1]  Rifman S S. Digital rectification of ERTS multispectral imagery[J]. 1973.