数字信号处理

一些数字信号处理很重要却又易混淆的知识。

物理分辨率和计算分辨率

也称为频率分辨率和时间分辨率 

帕塞瓦尔定律

数学本质：矢量空间信号正交变换的番薯不变性。 
物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。 
数学公式： 

∫t2t1f2(t)dt=∑r=1∞C2r∫t2t1g2r(t)dt=∑r=1∞[Cr gr(t)]2dt=∑r=1nc2rKr

第一项积分号内为信号能量，第二项积分号内为基底信号的能量，第三项积分号内为各信号分量的能量。

小波基

选择标准： 
1）支撑长度：当时间或频率–>∞时，小波函数从有限值收敛到零的长度，大部分应用中取5~9。 
在此补充紧支撑的概念：只在紧支撑集范围内有值，函数具有速降性。 
2）对称性：小波对应的滤波器要求线性相位。 
3）消失矩：值越大，表示越多的小波系数值为零，越有利于数据压缩和去除噪声，但同时会使支撑长度变大。 
definition :

∫tpψ(t)dt=0

,0≤p<N,消失矩为N阶。 
4）正则性：正则性越好，支撑长度越长。 
5）相似性：选择与信号长度相似的小波。 
小波函数种类（详细描述见MATLAB帮助文档）： 
1、Haar小波 
Haar，一般音译为“哈尔”。支撑域在t∈[0,1]范围内的单个矩形波。在时域不连续。 
2、Daubechies(dbN)小波(紧支集正交小波) 
Daubechies，一般音译为“多贝西”。构造者：Ingrid Daubechies，正则性较好，信号重构过程比较光滑。随着阶次增加，消失矩阶数越大，光滑性越好，频域的局部化能力越强，频带的划分效果越好，但时域紧支撑性减弱，计算量增加，实时性下降，除N=1（Haar小波）外，小波不具有对称性（非线性相位），分析信号时会有一定的相位失真。 
3、Symlet(symN)小波(近似对称的紧支集正交小波，symN (N=2,3,…,8)) 
Symlet小波函数是IngridDaubechies提出的近似对称的小波函数，该小波与dbN小波相比，在连续性、支集长度、滤波器长度等方面与dbN小波一致，但symN小波具有更好的对称性，即一定程度上能够减少对信号进行分析和重构时的相位失真。 
4、Coiflet(coifN)小波（coifN (N=1,2,3,4,5)） 
Coiflet的小波函数Ψ(t)的2N阶矩为零，尺度函数φ(t)的2N-1阶矩为零。Ψ(t)和φ(t)的支撑长度为6N-1。Coiflet的Ψ(t)和φ(t)具有比dbN更好的对称性。 
5、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波 
为了解决对称性和精确信号重构的不相容性，引入了双正交小波，称为对偶的两个小波分别用于信号的分解和重构。双正交小波解决了线性相位和正交性要求的矛盾。由于它有线性相位特性，所以主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函娄进行重构。

    双正交小波与正交小波的区别在于正交小波满足<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,kδl,m，也就是对小波函数的伸缩和平移构成的基函数完全正交，而双正交小波满足的正交性为<Ψj,k ,Ψl,m>=δj,k，也就是对不同尺度伸缩下的小波函数之间有正交性，而同尺度之间通过平移得到的小波函数系之间没有正交性，所以用于分解与重构的小波不是同一个函数，相应的滤波器也不能由同一个小波生成。    该小波虽然不是正交小波，但却是双正交小波，具备正则性，同时也是紧支撑的，其重构支撑范围为2Nr+1，分解支撑范围为2Nd+1。biorNr.Nd小波的主要特征表现在具有线性相位特性。一般来说为了获得线性相位，需要降低对于正交性的局限，为此该双正交小波降低了对于正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波获得了线性相位和较短支集的特性。    

6、Meyer小波 
Meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，它不是紧支撑的，但它的收敛速度很快。 
7、Dmeyer小波 
Dmeyer即离散的Meyer小波，它是Meyer小波基于FIR的近似，用于快速离散小波变换的计算。 
8、Gaussian小波 
Gaussian小波是高斯密度函数的微分形式，它是一种非正交与非双正交的小波，没有尺度函数。 
9、ComplexMorlet小波 
Morlet小波是一种单频复正弦调制高斯波，也是最常用的复值小波该小波，在时频两域均具有良好的分辨率，将此小波加以改造特别适用于地震资料的分析。 
等…… 
matlab中wavedec针对离散，CWT针对连续信号。 
多尺度分析（多分辨率分析）：信号通过多级分解到多个相互不包含的正交的频率空间。理解角度，数字滤波器，函数空间。 
根据采样定律，由采样频率确定分析频率进而确定分层数。（学习小波每层高通，低通滤波器如何滤波）

【1】葛哲学，沙威.小波分析理分与MATLAB R2007实现[M].北京：电子工业出版社，2007. 
【2】魏明果.实用小波分析[M].北京：北京理工大学出版社，2005. 
【3】董长虹. Matlab小波分析工具箱原理与应用[M].北京：国防工业出版社，2004. 
【4】张颖超，茅丹，胡凯.压缩传感理论在心电图信号恢复问题上的研究[J]. 计算机研究发展，2014，51(5)：1018-1027. 
[5]彬彬有礼博客http://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/42586749 
thanks