积分公式

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

中文名

积分公式

外文名

integral formula

类    属

数学

类    别

公式

目录

1. 1 公式种类
2. 2 公式汇总
3. ▪ 不定积分

1. ▪ 定积分
2. 3 积分性质
3. ▪ 线性性

1. ▪ 保号性
2. 4 软件运用

公式种类

编辑

不定积分

设

  

是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C.其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。[1] 

注：∫f(x)dx+c1=∫f(x)dx+c2, 不能推出c1=c2

定积分

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。[2]  直观地说，对于一个给定的实函数f(x)，在区间[a，b]上的定积分记为：

若f(x)在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线(x，f(x))、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。

积分的种类还有如下几类：[3] 

• 黎曼积分
• 达布积分
• 勒贝格积分
• 黎曼－斯蒂尔杰斯积分
• 数值积分

公式汇总

编辑

不定积分

不定积分的积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√(a+bx)的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b(a>0)的积分、含有√(a²+x^2) (a>0)的积分、含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。[2] 

含a+bx的积分

含有a+bx的积分公式主要有以下几类：[4] 

含√(a+bx)的积分

含有√(a+bx)的积分公式主要包含有以下几类：[5] 

含有x^2±α^2的积分

 

含有ax^2+b(a>0)的积分

含有√(a^2+x^2) (a>0)的积分

被积函数中含有√(a^2+x^2) (a>0)的积分有[2]  ：

含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分

被积函数中含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分有：[4] 

对于a2>x2有：

含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分

被积函数中含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分有[2]  [4]  [5] 

 

　　

含有三角函数的积分

被积函数中含有三角函数的积分公式有：[5] 

含有反三角函数的积分

被积函数当中含有反三角函数的积分公式有[2]  ：

含有指数函数的积分

被积函数当中包含有指数函数的积分公式[4]  ：

含有对数函数的积分

被积函数当中包含有对数函数的积分公式[5]  ：

含有双曲函数的积分

被积函数当中包含有双曲函数的积分公式有[2]  ：

定积分

定积分公式有以下几种[1]  [4] 

积分性质

编辑

通常意义上的积分都满足一些基本的性质。以下积分区域

  

的在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。积分的性质有：线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。[1] 

线性性

积分是线性的。如果一个函数f 可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

保号性

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个

  

上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。[6]  [3] 

如果黎曼可积的非负函数f在

  

上的积分等于0，那么除了有限个点以外，f = 0。如果勒贝格可积的非负函数f在

  

上的积分等于0，那么f几乎处处为0。如果

  

中元素A的测度μ (A)等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。[6]  [3] 

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对

  

中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。[3] 

软件运用

编辑

用户可以在Microsoft Word中创建积分公式，以Word2010软件为例介绍操作方法：

第1步，打开Word2010文档窗口，切换到“插入”功能区。在“符号”分组中单击“公式”按钮（非“公式”下拉三角按钮）。

第2步，在Word2010文档中创建一个空白公式框架，在“公式工具/设计”功能区中，单击“结构”分组中的“积分”按钮。在打开的积分结构列表中选择合适的积分形式。

第3步，在空白公式框架中将插入积分结构，单击积分结构占位符框并输入具体数值或公式符号即可。[7]