HDOJ 4865 Peter's Hobby(概率dp, viterbi)

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题目描述

题目大意

给定不同天气的湿度概率矩阵，以及不同天气的状态转移矩阵。输入湿度序列，求此湿度序列所对应的最有可能的天气序列。

题目分析

一道典型的概率dp题，或者叫viterbi算法。viterbi算法常用在HMM（隐马尔科夫模型）的三个基本问题中的问题二：decoding，即Given an observation sequence and an HMM, determine the most probable hidden state sequence。
本题中，湿度是直接可观测的，隐藏的状态就是天气状态。（不过这里不太合适，天气状态也是可观测的）。
这里引入viterbi，是为了更形象的说明期间的涉及到的概率问题，并不是是说此题就是viterbi算法了。因为viterbi本质就是DP，除了HMM的decoding，还可以用在其他地方。
说了这么多，简单描述下viterbi算法。

式中，Vt(j)就表明在第t天天气状态为j(晴天，雨天，阴天)的概率。我们求得最后一天VT(j)的概率，选取最大值，然后根据btt(j)回溯每一天的天气状况。
aij, 天气状态转移概率；
bj(xt), emission matrix(发射矩阵)，天气为j湿度为xt的概率。
这两个概率矩阵就是题目提供的两个概率矩阵。

这里说得比较浅陋，如果第一次接触，可能比较难懂，直接看代码吧。代码中为了把乘法转化为加法，利用了log。

AC代码

#include <iostream>#include <algorithm>#include <vector>#include <stack>#include <string>#include <cmath>#include <cstring>using namespace std;double a[3][3] = {0.5, 0.375, 0.125,                  0.25, 0.125, 0.625,                  0.25, 0.375, 0.375};   // transition probabilitydouble b[3][4] = {0.6, 0.2, 0.15, 0.05,                  0.25, 0.3, 0.2, 0.25,                  0.05, 0.10, 0.35, 0.50}; // emittion probabilitydouble dp[55][3];   // resultsint path[55][3]; // path of daysint in[55];         // input, the humidity of leavesint solve(string leaves) {    if (leaves == "Dry") return 0;    if (leaves == "Dryish") return 1;    if (leaves == "Damp") return 2;    if (leaves == "Soggy") return 3;    return -1;}string solve(int days) {    if (days == 0) return "Sunny";    if (days == 1) return "Cloudy";    if (days == 2) return "Rainy";    return nullptr;}void print(stack<int> sta, int count) {    //cout << "Case #" << count << endl;    printf("Case #%d:\n", count);    while (!sta.empty()) {        int val = sta.top();        cout << solve(val) << endl;        sta.pop();    }}void init() {    dp[0][0] = log(0.63 * b[0][in[0]]);    dp[0][1] = log(0.17 * b[1][in[0]]);    dp[0][2] = log(0.2 * b[2][in[0]]);}int main() {    int T, N, count = 0;    cin >> T;    while (T--) {        count++;        cin >> N;        for (int i = 0; i < N; ++i) {            string leaves; cin >> leaves;            in[i] = solve(leaves);        }        init();   // init the fisrt day.        for (int i = 1; i < N; ++i) {            for (int j = 0; j < 3; j++) {                double tmp = dp[i - 1][0] + log(a[0][j] * b[j][in[i]]);                path[i][j] = 0;                for (int k = 1; k < 3; ++k) {                    if (dp[i - 1][k] + log(a[k][j] * b[j][in[i]]) > tmp) {                        tmp = dp[i - 1][k] + log(a[k][j] * b[j][in[i]]);                        path[i][j] = k;                    }                }                dp[i][j] = tmp;            }        }        double maxP = dp[N-1][0];        int maxN = 0;        for (int i = 1; i < 3; i++) {            if (dp[N-1][i] > maxP) {                maxP = dp[N-1][i];                maxN = i;            }        }        stack<int> sta; sta.push(maxN);        for (int i = N - 1; i > 0; --i) {            sta.push(path[i][maxN]);            maxN = path[i][maxN];        }        print(sta, count);    }    return 0;}