Codeforces 267C Berland Traffic

这题真是相当的妙啊，让我对OI有了更深的认识。

题目大意：
有N个点，M条有向边的有流量上限的图。要满足1到N所有路径上使用的流量总和相同，求最大的总流量以及这个情况下每条边使用的流量。

老师讲的相当的好啊。这里要引入一个势能的概念。物理中，忽略阻力的下落运动就是重力势能和动能相互转化的过程。我们把不同的路径看做是沿着不同的斜面下滑，因为忽略阻力，所以即使路径不同，势能变化也是相同的。

这说明什么呢？

好像没什么用哈。但是如果我们把N的势能设为0,1的势能设为1，我们就发现：每个点的势能是成比例的。也就是说，每条边的势能传递也是成比例的。

那么就好了：根据每个点的流量守恒，得到N-2个N元方程组。但如果把N势能设为0,1势能设为1，就变成了N-2个N-2元方程组。高斯消元解之，得到每个点和每条边的流量比例。那么去和流量上限比一下就好了。

附代码

#include<bits/stdc++.h>#define N 105#define eps 1e-15using namespace std;double f[N][N];int n,m;int dt[N][N];double bh[N][N];double sn[N];int va[N][N];int l[N*N],r[N*N];double ll[N*N];int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=0,a,b,c;i<m;i++){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);a--;b--;l[i]=a,r[i]=b,ll[i]=c;if(va[a][b]==0) va[a][b]=c;else va[a][b]=min(va[a][b],c);dt[a][b]++;dt[b][a]++;}for(int i=1;i<n-1;i++){for(int j=0;j<n;j++)if(dt[j][i]) f[i][i]+=dt[j][i],f[i][j]-=dt[j][i];f[i][n-1]=-f[i][0];}int tot=n-2;for(int i=1;i<=tot;i++){int tmp=i;while(!f[tmp][i]&&tmp<=tot) tmp++;if(tmp>tot) continue;for(int j=i;j<=tot+1;j++) swap(f[i][j],f[tmp][j]);for(int j=1;j<=tot;j++)if(j!=i){double t=f[j][i]/f[i][i];                for(int k=1;k<=tot+1;k++) f[j][k]-=t*f[i][k];}}for(int i=1;i<=tot;i++){if(f[i][i]==0) continue;for(int j=1;j<=tot+1;j++){if(j==i) continue;f[i][j]/=f[i][i];}f[i][i]=1;sn[i]=f[i][tot+1];}sn[0]=1;double use=1008610086;for(int i=0;i<m;i++){if(abs(sn[l[i]]-sn[r[i]])<eps) continue;if(sn[l[i]]>sn[r[i]]) use=min(use,ll[i]/(sn[l[i]]-sn[r[i]]));else use=min(use,ll[i]/(sn[r[i]]-sn[l[i]]));}double ans=0;for(int i=0;i<m;i++) bh[l[i]][r[i]]=use*(sn[l[i]]-sn[r[i]]);for(int i=0;i<m;i++){if(l[i]==0) ans+=bh[l[i]][r[i]];if(r[i]==0) ans-=bh[l[i]][r[i]];}printf("%.5lf\n",ans);for(int i=0;i<m;i++) printf("%.5lf\n",bh[l[i]][r[i]]);return 0;}