bzoj3505 [Cqoi2014]数三角形 题解

原题地址：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3505
题意：
给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。
题解：
思维题。主要是怎么求三个点在一条斜线上的方案数。
初步思路：用（n+1）*（m+1）选三个点的方案数，减去三点在同一直线上的方案数。
如果以左下角的点为（0,0）建立坐标系，那么点（0,0）到点（x，y）线段上的格点数就是 gcd（x，y）+1
思路一：nm枚举线段两端端点，然后统计方案数
但是 他还有这种情况，就是说，端点不在格点上

于是舍弃。
接着考虑
如果把一个端点定为零点，必然可以表示出图上所有倾斜程度的线段（一个方向的）。
如果我们考虑同一倾斜程度的线段在平移多少后其上的点增加多少
就需要考虑另一端点（x，y）的最简比（x0，y0）平移的情况。太过繁琐。
但提供了以一点为（0，0），另一点在剩下格点中找可以表示出所有线段的思路。
转换一下，如果我们只看点。
固定两点A，B
则AB线段上的可取的C数，就是固定AB时在三点共线的方案数
当我们统计完这样的两点间的方案数后，可以通过平移搞出所有这样的，（可以画图知道对于（0,0）-（x,y）这样的线段，跟他长得一样的线段共（n+1-x）*（m+1-y）个）。
而总共的方案数就是
2* （n+1-x）* （m+1-y） *（gcd（x，y）-1）
【gcd（x，y）-1是除去固定的A ，B点后的点数，乘2是因为有两个方向。

至此得到全部思路，
先算出(n+1）*（m+1)选3的组合数，减去非斜线（即与行或列平行的线）上的方案，在for(1~n) for(1~m)枚举所有与（0,0）构成斜线的点，若gcd(x,y)+1>2，减去其上方案数。

代码：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>using namespace std;long long n,m;long long ans=0;int getgcd(int a,int b){    return b==0?a:getgcd(b,a%b);}int main(){    scanf("%lld%lld",&n,&m);    n++;m++;    ans=n*m*(n*m-1)*(n*m-2)/6;    ans-=m*n*(n-1)*(n-2)/6;    ans-=n*m*(m-1)*(m-2)/6;     for(int i=1;i<n;i++)     {        for(int j=1;j<m;j++)        {            int gcd=getgcd(i,j);            if(gcd+1<=2) continue;            ans-=(2LL)*(gcd-1)*(n-i)*(m-j);         }    }       printf("%lld\n",ans);    return 0;}