（no.23) Find the Duplicate Number 多种方法探讨

• 题目描述
  

• 分析实现 法一
  若不考虑空间复杂度必须为O（1）的条件，在满足1、3、4的条件下，对于找寻重复的数字来说，很简便的一种方法就是映射。将元素值作为新开数组的下标，进行出现次数的统计。

class Solution {public:    int findDuplicate(vector<int>& nums) {        int len=nums.size()+1;        vector<int> log(len,0);        int result=0;        for(int i=0;i<len;i++){            log[nums[i]]++;        }        for(int i=0;i<len;i++){            if(log[i]>1){                result=i;                break;            }        }        return result;    }};

• 分析实现 法二
  现在，我们需要考虑空间复杂度必须为O（1）的条件，也即需要写出一个满足上述四个条件的代码，怎么入手呢？

  回顾法一，其成功在于以重复数字作为下标的元素被累加了两次及其以上，我们找到元素值大于1的，也就找到了重复数字。可是现在，不能创建个以N为大小的数组呀，我们怎样才能抓住下标元素被累加到了两次及其以上呢？

  因为有重复的数字，那么对于value初始化为0，value = nums[value]来说，value会最终陷在一个循环里。如nums={1，3，4，2，2}，那么value=1，3，2，4，2，4，2，4，…..。而这个循环里，就有我们的重复数字。

  那现在问题就变为如何发现这个循环，并且如何从循环里拿到重复数字。所以便有了下面的代码：

class Solution {public:    int findDuplicate(vector<int>& nums){        if (nums.size() > 1){            //开始起跑，slow一步一步跑，fast两步并一步跑            int slow = nums[0];            int fast = nums[nums[0]];            //确定它俩陷在了循环里            while (slow != fast){                slow = nums[slow];                fast = nums[nums[fast]];            }            //fast重新开始一步一步地起跑，当与陷入循环里的slow相遇时，即为所求            fast = 0;            while (fast != slow){                fast = nums[fast];                slow = nums[slow];            }            return slow;        }        return -1;    }   };

• 法2 细节说明
  这里我们引入另一个加速的循环，value = nums[nums[value]]，如此，通过两个循环的碰撞便能发现了循环并拿到重复的元素。

  那为什么这两个循环一定会相撞呢？我们用物理学里的速度路程（s=vt）来论证。

  我们把慢的循环叫slow，快的循环叫fast。因为是循环永无止境，所以追踪的路程s可以无限大。

  现在，想让fast追上slow，fast的速度为vf，slow的速度为vs（vs结合本题的意思就是value = nums[value]计算一次），并且vf=2*vs。我们可以列出公式，vs*t=vf*t+dis。其中dis为一开始slow和fast相隔的距离。

  从而，我们可以解出t=dis/vs。
  现来看dis的取值，slow和fast最多相距n的距离。

  综上，它们一定会相撞。因为从物理学中知道，路程无限的条件下，快速度的一定会追上慢速度的。并且只要在O（n）的时间复杂度下，我们就能让两个循环相撞了。

• 分析实现 法3
  之所以会想到法2，是受法1映射的思想影响。现在，我们从中跳出来，看看还有没有其他的办法。

  分治法。

  我们要充分利用题目给的条件，“Given an array nums containing n + 1 integers where each integer is between 1 and n (inclusive)”

  n+1个数，每个数的值还只能是从1到n中取，那么我随便说一个1到n中的数，如果数组中小于等于它的数的个数竟然大于该数值本身，那么肯定是有重复的。

  举个例子，nums={4，3，6，5，4，1，2}，我随便说个数：5，那么nums中小于等于5的元素个数为6，说明Duplicate Number的值比5小，就是因为Duplicate Number，才会造成数量反超的局面。

  代码实现如下，使用二分搜索连缩小范围，

  class Solution {public:int findDuplicate(vector<int>& nums){       int len=nums.size();    int low=1;    int high=len-1;    int mid,count;    while(low<high){        mid=low+(high-low)/2;        count=0;        for(int i=0;i<len;i++){            if(nums[i]<=mid)   //统计小于mid的元素个数                 count++;        }        if(count<=mid)            low=mid+1;        else         //说明有元素重复了不止一次             high=mid;       }    return low;}};