Codechef June15 ChefBook

　　来自2016集训队作业。

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　　有2n个变量xi,yi,给定m个约束Li≤xai−ybi+Wi≤Ri，最大化∑ixai−ybi。

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　　相当于是有2m个约束
　　

xai−ybi≤Ri−Wi　　ybi−xai≤Wi−Li

　　设inu,outu分别为出度、入度，则最优化条件相当于
　　

max∑uoutuxu−inuyu

　　这是个线性规划，考虑将其对偶，可以得到
　　

∑(u,v)∈Exu,v−yu,v≥outu,∀u∈V

　　

∑(u,v)∈Eyu,v−xu,v≥inv,∀v∈V

　　

min∑(u,v)∈E(Ru,v−Wu,v)xu,v−(Wu,v−Lu,v)yu.v

　　将所有的约束加起来，得到0≥0，所以所有的等号必须取到。
　　考虑建图，则按照流量平衡，每个变量作为一条边，符号对应出/入流，费用为最优化式子中的系数，按符号往源或汇连容量为常数项的边，跑最小费用最大流得到的就是答案了。
　　然后来看怎么出一组解。首先初始的约束是个差分约束系统，可以先判有无解；费用流跑出来的网络里某个变量代表的边有流量也即这个变量大于0，可知原问题对应的约束取到了等号，所以往差分约束里加上这个等式。这样跑出来的就是一组合法的解了。
　　要注意答案非负，所以最后对所有变量都减去变量中的最小值。
　　时间复杂度。。。O(跑得过但是很慢)。。。