NOIP 2012 Senior 3

来源：互联网发布：生死狙击软件免费版编辑：程序博客网时间：2024/06/06 00:23

还是太弱了…这道题拿到手上后完全没有能够在规定时间内解决的思路。不过还好，大体思路是对的：
首先预处理A、B在每个地方开一次车到达的地方。对于第一问，枚举A出发的位置，对于第二问，直接计算就行了。计算的方法就是挨着推，直到满足题目中结束旅行的条件。很明显，预处理的时间复杂度为O(n2)，计算的时间复杂度为O(n)，因此整个程序的时间复杂度就为O(n2+n2+nm)，平方级的，按理说还能过个50~70分，但是可能比赛时计算比例那里写错了，最后只有35分。

这个题的思路就是这样，我们要做的就是将上面的两个操作至少优化到O(nlogn)，幸运的是，这种算法是存在的。对于操作1，我们可以用一棵平衡树以O(logn)的时间复杂度完成操作，但我连平衡树都没有学过= =。幸运的是，STL有一个现成的平衡树set，使用它就已足够满足我们的要求了。
由于旅行只能从左往右走，因此我们只能从右往左向set中添加结点。假设有5座城市1,2,3,4,5，我们要计算A、B各自从3出发到达的下一个城市：

  3 / \4   5

这里假设4比3低，5比3高，那么树将会是以上这样。
我们可以使用set的find方法找到3的位置，然后对迭代器进行++,–，就能找到4,5了。
那么到底A该走哪里，B该走哪里呢？假设我们要计算1：

    1   / \  3   5              //这棵树是我乱编的 /     \4       2

所以我们现在知道的是可能的答案为3,4,5,2，即向左扩展2个结点，向右扩展2个结点（想一想，为什么）。我们对这四个结点的进行排序，第0个就是B的目的地，第1个就是A的目的地。当然，如果A没有目的地，就不要改A。

对于计算这个操作，我们可以使用倍增的思想。之前我们一次走一步，时间复杂度为O(n)。倍增的思想就是花上O(nlogn)的时间进行预处理，使每次的查询时间将为O(logn)。对于这道题而言，可以这样定义：

next[k][i]代表从i出发，AB开了2^k轮车后到达的位置（一轮指AB先后开了一次车）
disA[k][i]代表从i出发，AB开了2^k轮车后A走的里程
disB[k][i]代表从i出发，AB开了2^k轮车后B走的里程
如果遇到最后只有A开了车，需要单独计算

有没有感觉这和ST表的定义很像？事实上，ST表就是用的倍增的思想。
枚举时，我们将k从大到小进行枚举（想一想，为什么不能从小到大）。如果开2^k轮车后能走到一个地方，则开，否则k--。k最终枚举到0，这毋庸置疑，那k从哪里开始枚举呢？我们可以从可能的极大值开始。因为如果k很大，肯定是开不到的，只是浪费一点时间而已。

最后，我们根据初始化的信息推算即可，详见代码。

参考代码

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#include <vector>#include <string>#include <stack>#include <queue>#include <deque>#include <map>#include <set>using std::cin;using std::cout;using std::endl;#define FOR(x, f, t) for(int x = (f); x <= (t); x++)inline int readIn(){    int a;    scanf("%d",&a);    return a;}const int maxn = 100005;const int maxm = 100005;int n,m;struct CITY{    int index;    int height;    CITY(int index = 0, int height = 0):index(index), height(height)    {    }    bool operator< (const CITY& b) const    {        return height < b.height;    }} cities[maxn];int start[maxm];int x[maxm];int height;struct sub   //用于初始化{    CITY destination;    void operator=(const CITY& b)    {        destination = b;    }    bool operator<(const sub& b) const    {        int s1 = std::abs(height - destination.height);        int s2 = std::abs(height - b.destination.height);        if(s1==s2) return destination.height < b.destination.height;        return s1<s2;    }} subs[4];int nextA[maxn];int nextB[maxn];const int maxIndex = 17;int next[maxIndex][maxn]; //从i开2^k轮后到的位置long long disA[maxIndex][maxn]; //从i开2^k轮A的路程long long disB[maxIndex][maxn]; //从i开2^k轮B的路程void input(){    n=readIn();    FOR(i, 1, n)    {        cities[i].height=readIn();        cities[i].index = i;    }    x[0]=readIn();    m=readIn();    FOR(i, 1, m)    {        start[i]=readIn();        x[i]=readIn();    }}void init(){    std::set<CITY> des;    des.insert(cities[n]);    for(int i = n-1; i >= 1; i--)   //要从右往左更新，因为只能从左往右走    {        des.insert(cities[i]); //先插入：我们要知道要更新的城市的位置        std::set<CITY>::iterator it = des.find(cities[i]); //要更新的城市的位置        int nCmp = 0;        if(it!=des.begin())        {            it--;            subs[nCmp++] = *it;            if(it!=des.begin())            {                it--;                subs[nCmp++] = *it;                it++;            }            it++;        }        if(it!=des.end())        {            it++; //不用复原了            subs[nCmp++] = *it;            if(it!=des.end())            {                it++;                subs[nCmp++] = *it;            }        }        height = cities[i].height;        std::sort(subs, subs+nCmp);        nextB[i] = subs[0].destination.index;        if(i<=n-2) nextA[i] = subs[1].destination.index;    }}void go(int from, int X, long long& lengthA, long long& lengthB){    for(int i = maxIndex - 1; ~i; i--) //相当于二进制    {        if(next[i][from] && disA[i][from] + disB[i][from] <= X)        {            lengthA += disA[i][from];            lengthB += disB[i][from];            X -= disA[i][from] + disB[i][from];            from = next[i][from];        }    }    int last = nextA[from]; //看看A还能不能走    if(!last) return;    int lastDis = std::abs(cities[last].height - cities[from].height);    if(lastDis <= X) lengthA+=lastDis;}void run(){    input();    init(); //初始化A,B开一次开到哪里去了    for(int i = 1; i <= n; i++) //初始化开1轮的情况    {        int pos1 = nextA[i];        int pos2 = nextB[pos1];        if(pos1) disA[0][i] = std::abs(cities[pos1].height - cities[i].height);        if(pos2) disB[0][i] = std::abs(cities[pos2].height - cities[pos1].height);        next[0][i] = pos2;    }    for(int i = 1; i <= maxIndex - 1; i++) //初始化开2^k轮的情况    {        for(int j = 1; j <= n; j++)        {            next[i][j] = next[i - 1][next[i - 1][j]];            disA[i][j] = disA[i - 1][j] + disA[i - 1][next[i - 1][j]];            disB[i][j] = disB[i - 1][j] + disB[i - 1][next[i - 1][j]];        }    }    //solve1    long long ansA=1e15;    long long ansB=0;    int ans = 0;    for(int i = 1; i <= n; i++)    {        long long lengthA=0, lengthB=0;        go(i, x[0], lengthA, lengthB);        if(lengthB && (!ans || ansA * lengthB > ansB * lengthA))        {            ans = i;            ansA = lengthA;            ansB = lengthB;        }    }    printf("%d\n",ans);    //solve2    for(int i = 1; i <= m; i++)    {        long long lengthA=0, lengthB=0;        go(start[i], x[i], lengthA, lengthB);        cout<<lengthA<<" "<<lengthB<<endl;        printf("%lld %lld\n",lengthA, lengthB);    }}int main(){    run();    return 0;}

阅读全文

0 0