凸函数2(斯坦福凸优化笔记6)
来源:互联网 发布:java流程引擎activity 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 03:58
1 Jensen 不等式
基本不等式
扩展到多项也成立。
一般形式:
事件
2 保凸运算
注意,这里的保凸运算指凸函数的保凸运算,并不指凸集的保凸运算,要和上一章分开。
(1)非负加权求和
当
当
此性质可以扩展到积分。
如果固定
(2)复合仿射映射
假设函数
其中
这样的话,
(3)函数每点取最大
若
这个性质还可以扩展到多个函数。
若
举例:
最大
原因是
即从
逐点最大的性质可以扩展到无限个凸函数取上确界。
对于任意
(4)标量的复合:
标量的复合在直观上结论十分好理解。
对于
这里,我们先假设这里写出来的导数都是存在的。
因为可以认为凸函数二阶导大于零,所以
如果函数不可导怎么办?这些直观的结论都依然成立,只是这时结论里的
举几个例子:
如果
如果
(5)矢量的复合:
对于
其中,
此时,我们得到和上面标量复合类似的结论。同样,
矢量复合要注意的是,矢量复合可以组合多种情况的结论。比如下面结论同样是对的:
若
(6)最小化
如果函数
是凸函数。
举一个例子,定义点
若
(7)透视函数
定义函数:
定义域为:
透视函数是保凸运算。
(一定注意要求
3 共轭函数
设函数
此函数称为
(图片来自斯坦福Boyd Convex Optimization)
旋转直线
考虑一个简单的例子。
求
对于函数
当
当
4 拟凸函数
如果函数定义域内的所有下水平集都是凸集,则函数为拟凸函数。这个定义在理解了下水平集之后还是很好理解的。
拟凸函数在一些性质上很像凸函数一些性质的变形。
这个性质称为拟凸函数的Jensen不等式。
拟凸函数也有相应的一阶条件。
拟凸函数的一阶条件:
这是对应的描述拟凸函数的不等式。
5 对数凸函数
函数为对数凹,对所有的
我们也可以用类似定义凸函数的方法定义对数凹函数。
如果函数定义域是凸集,且在定义域上为正,
对
关于对数凸函数,有几个性质比较重要。
1对数凸函数是凸函数,非负凹函数是对数凹函数。
2 对于对数凹函数,
3 对数凸函数的和仍然是对数凸函数。
4 积分:积分可以理解成无数个函数的和。
所以有以下结论。
对于任意
对数凹函数的积分也有积分性质。
如果函数
则此函数在
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