凸优化笔记(三)--凸函数

1、若函数f:Rn→R是凸的，有个很重要的前提，domf是凸集。
2、函数是凸的，当且仅当其在与其定义域相交的任何直线上都是凸的？
→直线x+tv与domf相交，且f(x+tv)是凸的，为什么能证明f(x)是凸的？
3、拓展值延伸，起到自动定义定义域的作用，引出示性函数。
4、一阶条件，f可微是由梯度∇f存在引出。 全局下估计？
　　f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x),f(x)为f在x附近的泰勒近似。
5、一阶凸性条件的证明中，用到了2的结论。
6、一阶凸性一般情况的证明，为什么要用g(t)≥g(t˜)+g′(t)(t−t˜)来证明？
7、二阶条件，f二阶可微由Hessian矩阵或二阶导数∇2f存在引出。
8、书上几个典型例子中，Hessian矩阵的求法要注意。
9、(y,t)∈epif⇒[∇f(x)−1]T([yt]−[xf(x)])≤0⇒(∇f(x),−1)向量是支撑epif。这个结论是跟全局下估计有关？其中t表示的是≥f(y)的值。
10、f(Ex)≤Ef(x),E是期望，为什么这个式子能刻画凸性？
如果f不是凸函数，也不是凹函数，可能是其他类函数吗？如果只能是凸或凹函数的一种，那么结论就成立。因为若f不是凸函数，那么存在随机变量x,x∈domf以概率1发生，使得f(Ex)>Ef(x).
11、凸性和Jensen不等式可构成不等式理论的基础。
12、逐点最大性质，可扩展到无限个凸函数的逐点上确界，这里的“无限个”用f(x,y)y∈A表示。
13、书中例3.9中的解析最小值是怎么得到的？
14、扩展值延伸的非增、非减，满足无限延伸的条件。
15、最小化：g(θx1+(1−θ)x2)=infy∈Cf(θx1+(1−θ)x2,y)≤f(θx1+(1−θ)x2,θy1+(1−θ)y2)
→?≤θf(x1,y1)+(1−θ)f(x2y2)≤θg(x1)+(1−θ)g(x2)+ϵ。
16、指数和的对数函数的共轭函数是概率单纯性内的负熵函数。
17、拟凸函数是用在局部优化上？拟凸性是凸性的重要扩展。
18、拟凸的充要条件跟凸函数的一阶条件相似。f(x)≤f(y)⇒∇f(x)T(y−x)≤0
19、例3.31中，注意domf=R2+，所以f是拟凸函数。也就是定义中有个α∈R，是在domf之内的。
20、y∈Rn,x∈domf由yT∇f(x)=0⇒yT∇2y≥0，是由反证法得到的？
21、为什么例3.21说明∇2f(x)在(n-1)维子空间∇f2上半正定的，即∇2f(x)最多只有一个负特征值。
22、如果函数h是凸函数，则eh是凸函数，对数凸函数也是凸函数。
补18：为什么其他书上有这样的拟凸函数定义：0<θ<1,f(θx1+(1−θ)x2)<max{f(x1),f(x2)}，与书中定义等价？图3.10中有提到上面的那句话，不过是在R上才成立。
→现在来看，下水平集的定义更宽泛，毕竟取α=max{f(x1),f(x2)}也成立。
23、一些常用的概率密度函数是对数-凹函数。