POJ2229-number10

题目：

Description

Farmer John commanded his cows to search for different sets of numbers that sum to a given number. The cows use only numbers that are an integer power of 2. Here are the possible sets of numbers that sum to 7: 

1) 1+1+1+1+1+1+1 
2) 1+1+1+1+1+2 
3) 1+1+1+2+2 
4) 1+1+1+4 
5) 1+2+2+2 
6) 1+2+4 

Help FJ count all possible representations for a given integer N (1 <= N <= 1,000,000). 

Input

A single line with a single integer, N.

Output

The number of ways to represent N as the indicated sum. Due to the potential huge size of this number, print only last 9 digits (in base 10 representation).

Sample Input

7

Sample Output

6

个人理解：

如果i为奇数，肯定有一个1，把f[i-1]的每一种情况加一个1就得到f[i]，所以f[i]=f[i-1];
如果i为偶数，如果有1，至少有两个，则f[i-2]的每一种情况加两个1，就得到i，此时f'=f[i-2]

如果没有1，则把分解式中的每一项除2，和f[i/2]的情况一一对应  则得到f''=f[i/2]

综上：f[i]=f[i-2]+f[i/2]

代码通过情况：

代码：

# include<stdio.h># define mod 1000000000# define MAX 1000001int a[MAX]={1,1,2},i;int main(){    for(i=2;i<MAX;a[i+1]=a[i],i+=2)            a[i]=(a[i-2]+a[i>>1])%mod;    scanf("%d",&a[0]);        printf("%d\n",a[a[0]]);    return 0;}

_____________________________________另一个动态规划：

/*有N个同种类的物品，将它划分为不超过M组 求划分的方法的总数限制:N,M∈[1,100];EG:输入N=4    M=3输出:4            //1+1+2=1+3=2+=4 共四种解：DP问题定义DP[i][j]存储 j的i划分的总数如果我们将j划分为i个的话，可以先取出K个，然后将剩下的j-k个分成i-1份这样就有 DP[i][j]=∑dp[i-1][j-k]   求和为k=0到k=j求和但是这样就会出现重复问题比如上面的例子 如果用这种方式求 那么1+1+2 和1+2+1就会被当作不同的式子 结果就会出错我们设 Ai为划分过程中出现的数则 N的M划分 可以为表示为A1+A2+A3+……+Am=N   Ai共M项GGG1:如果对应的每个Ai都满足Ai>0 则等式A1+A2+A3+……+Am=N 两边都减去M 有(A1-1)+(A2-1)+(A3-1)+……+(Am-1)=N-M上式子相当于N-M的M划分GGG2:如果对应的Ai中存在Ai=0 则 将其定义为N的M-1划分比如A1+A2+A3+……+Am=N中A1 A2  A3 全为0则 可以将其表示为N的M-1划分 (此时去掉A1)N的M-2划分 (此时去掉A2)N的M-3划分 (此时去掉A3)……直至里面没有Ai=0   去掉的顺序无所谓 只要最终去掉所有的0也就是说A1+A2+A3+……+Am+0+0+0+……+0=N  无论里面有多少0 这个式子对应的划分数和A1+A2+A3+……+Am=N 是一样的综合GGG1  2 有DP[i][j]=DP[i][j-i]+DP[i-1][j]时间复杂度O(NM)*/# include <stdio.h># define MAX 101int DP[MAX][MAX]={1,0},i,j,M,N;int main(){scanf("%d%d",&N,&M);for(i=1;i<=M;i++)    for(j=0;j<=N;j++)              if(j-i>=0)      DP[i][j]=DP[i-1][j]+DP[i][j-i];              else  DP[i][j]=DP[i-1][j];printf("%d\n",DP[M][N]);return 0;}