数据结构学习笔记（九）：图（下）：最小生成树（Prim，Kruskal 算法），拓扑排序 AOV，关键路径 AOE

来源：互联网发布：java 形参实参编辑：程序博客网时间：2024/06/04 23:35

8.1 最小生成树

8.1.1 什么是最小生成树

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解决最小生成树有很多算法，但是归结起来都是贪心算法。

贪心算法：

什么是“贪”：每一步都要最好的
什么是“好”：权重最小的边
但是因为是最小生成树，所以这个贪心算法还需要约束：
- 只能用图里有的边
- 只能正好用掉 | V | - 1 条边
- 不能有回路

贪心算法由两个著名的算法：Prim 算法和 Kruskal 算法。

8.1.2 Prim 算法

Prim 算法–选一个结点，让一棵小树“长大” （和之前单源最短路径中的 Dijkstra算法很像）（针对的是点）

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和 Dijkstra算法进行比较：

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C 语言实现

/* 邻接矩阵存储 - Prim最小生成树算法 */Vertex FindMinDist( MGraph Graph, WeightType dist[] ){ /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */    Vertex MinV, V;    WeightType MinDist = INFINITY;    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {        if ( dist[V]!=0 && dist[V]<MinDist) {            /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */            MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */            MinV = V; /* 更新对应顶点 */        }    }    if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */        return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */    else return ERROR;  /* 若这样的顶点不存在，返回-1作为标记 */}int Prim( MGraph Graph, LGraph MST ){ /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */    WeightType dist[MaxVertexNum], TotalWeight;    Vertex parent[MaxVertexNum], V, W;    int VCount;    Edge E;    /* 初始化。默认初始点下标是0 */       for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {        /* 这里假设若V到W没有直接的边，则Graph->G[V][W]定义为INFINITY */           dist[V] = Graph->G[0][V];           parent[V] = 0; /* 暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0 */     }    TotalWeight = 0; /* 初始化权重和     */    VCount = 0;      /* 初始化收录的顶点数 */    /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */    MST = CreateGraph(Graph->Nv);    E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立空的边结点 */    /* 将初始点0收录进MST */    dist[0] = 0;    VCount ++;    parent[0] = -1; /* 当前树根是0 */    while (1) {        V = FindMinDist( Graph, dist );        /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */        if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */            break;   /* 算法结束 */        /* 将V及相应的边<parent[V], V>收录进MST */        E->V1 = parent[V];        E->V2 = V;        E->Weight = dist[V];        InsertEdge( MST, E );        TotalWeight += dist[V];        dist[V] = 0;        VCount++;        for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */            if ( dist[W]!=0 && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {            /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */                if ( Graph->G[V][W] < dist[W] ) {                /* 若收录V使得dist[W]变小 */                    dist[W] = Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */                    parent[W] = V; /* 更新树 */                }            }    } /* while结束*/    if ( VCount < Graph->Nv ) /* MST中收的顶点不到|V|个 */       TotalWeight = ERROR;    return TotalWeight;   /* 算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记 */}

8.1.3 Kruskal 算法

如果图是比较稀疏的，也就是说有很多结点，但是边的数量很少，那么Kruskal 算法就更合适。

Kruskal 算法的思想是：将森林合并成树（针对的是边）

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伪代码：

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C 语言实现

/* 邻接表存储 - Kruskal最小生成树算法 *//*-------------------- 顶点并查集定义 --------------------*/typedef Vertex ElementType; /* 默认元素可以用非负整数表示 */typedef Vertex SetName;     /* 默认用根结点的下标作为集合名称 */typedef ElementType SetType[MaxVertexNum]; /* 假设集合元素下标从0开始 */void InitializeVSet( SetType S, int N ){ /* 初始化并查集 */    ElementType X;    for ( X=0; X<N; X++ ) S[X] = -1;}void Union( SetType S, SetName Root1, SetName Root2 ){ /* 这里默认Root1和Root2是不同集合的根结点 */    /* 保证小集合并入大集合 */    if ( S[Root2] < S[Root1] ) { /* 如果集合2比较大 */        S[Root2] += S[Root1];     /* 集合1并入集合2  */        S[Root1] = Root2;    }    else {                         /* 如果集合1比较大 */        S[Root1] += S[Root2];     /* 集合2并入集合1  */        S[Root2] = Root1;    }}SetName Find( SetType S, ElementType X ){ /* 默认集合元素全部初始化为-1 */    if ( S[X] < 0 ) /* 找到集合的根 */        return X;    else        return S[X] = Find( S, S[X] ); /* 路径压缩 */}bool CheckCycle( SetType VSet, Vertex V1, Vertex V2 ){ /* 检查连接V1和V2的边是否在现有的最小生成树子集中构成回路 */    Vertex Root1, Root2;    Root1 = Find( VSet, V1 ); /* 得到V1所属的连通集名称 */    Root2 = Find( VSet, V2 ); /* 得到V2所属的连通集名称 */    if( Root1==Root2 ) /* 若V1和V2已经连通，则该边不能要 */        return false;    else { /* 否则该边可以被收集，同时将V1和V2并入同一连通集 */        Union( VSet, Root1, Root2 );        return true;    }}/*-------------------- 并查集定义结束 --------------------*//*-------------------- 边的最小堆定义 --------------------*/void PercDown( Edge ESet, int p, int N ){ /* 改编代码4.24的PercDown( MaxHeap H, int p )    */  /* 将N个元素的边数组中以ESet[p]为根的子堆调整为关于Weight的最小堆 */    int Parent, Child;    struct ENode X;    X = ESet[p]; /* 取出根结点存放的值 */    for( Parent=p; (Parent*2+1)<N; Parent=Child ) {        Child = Parent * 2 + 1;        if( (Child!=N-1) && (ESet[Child].Weight>ESet[Child+1].Weight) )            Child++;  /* Child指向左右子结点的较小者 */        if( X.Weight <= ESet[Child].Weight ) break; /* 找到了合适位置 */        else  /* 下滤X */            ESet[Parent] = ESet[Child];    }    ESet[Parent] = X;}void InitializeESet( LGraph Graph, Edge ESet ){ /* 将图的边存入数组ESet，并且初始化为最小堆 */    Vertex V;    PtrToAdjVNode W;    int ECount;    /* 将图的边存入数组ESet */    ECount = 0;    for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ )        for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next )            if ( V < W->AdjV ) { /* 避免重复录入无向图的边，只收V1<V2的边 */                ESet[ECount].V1 = V;                ESet[ECount].V2 = W->AdjV;                ESet[ECount++].Weight = W->Weight;            }    /* 初始化为最小堆 */    for ( ECount=Graph->Ne/2; ECount>=0; ECount-- )        PercDown( ESet, ECount, Graph->Ne );}int GetEdge( Edge ESet, int CurrentSize ){ /* 给定当前堆的大小CurrentSize，将当前最小边位置弹出并调整堆 */    /* 将最小边与当前堆的最后一个位置的边交换 */    Swap( &ESet[0], &ESet[CurrentSize-1]);    /* 将剩下的边继续调整成最小堆 */    PercDown( ESet, 0, CurrentSize-1 );    return CurrentSize-1; /* 返回最小边所在位置 */}/*-------------------- 最小堆定义结束 --------------------*/int ( LGraph Graph, LGraph MST ){ /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */    WeightType TotalWeight;    int ECount, NextEdge;    SetType VSet; /* 顶点数组 */    Edge ESet;    /* 边数组 */    InitializeVSet( VSet, Graph->Nv ); /* 初始化顶点并查集 */    ESet = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode)*Graph->Ne );    InitializeESet( Graph, ESet ); /* 初始化边的最小堆 */    /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */    MST = CreateGraph(Graph->Nv);    TotalWeight = 0; /* 初始化权重和     */    ECount = 0;      /* 初始化收录的边数 */    NextEdge = Graph->Ne; /* 原始边集的规模 */    while ( ECount < Graph->Nv-1 ) {  /* 当收集的边不足以构成树时 */        NextEdge = GetEdge( ESet, NextEdge ); /* 从边集中得到最小边的位置 */        if (NextEdge < 0) /* 边集已空 */            break;        /* 如果该边的加入不构成回路，即两端结点不属于同一连通集 */        if ( CheckCycle( VSet, ESet[NextEdge].V1, ESet[NextEdge].V2 )==true ) {            /* 将该边插入MST */            InsertEdge( MST, ESet+NextEdge );            TotalWeight += ESet[NextEdge].Weight; /* 累计权重 */            ECount++; /* 生成树中边数加1 */        }    }    if ( ECount < Graph->Nv-1 )        TotalWeight = -1; /* 设置错误标记，表示生成树不存在 */    return TotalWeight;}

8.2 拓扑排序

例：计算机专业排课。每一门课都有一个预修课程。

如果计算机的课多了，肯定要写一个程序解决问题。我们可以用图的结构来解决，把每一门课当做一个顶点，边是预修课程。

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这种关系依赖图，称作AOV（Activity On Vertex）网络。

在一个有限图中，所有的真实活动是表现在顶点上的，而顶点和顶点之间的有向边表示了两个活动之间的先后顺序。整个问题抽象一下就成了一个拓扑排序的问题。（引出拓扑排序）

8.2.1 拓扑排序定义

拓扑序：如果图中从V 到 W有一条有向路径，则V 一定排在 W之前。满足此条件的顶点是序列称为一个拓扑序。

获得一个拓扑序的过程就是 拓扑排序。

AOV 如果有合理的拓扑序，则必定是有向无环图。

C语言实现：拓扑排序

/* 邻接表存储 - 拓扑排序算法 */bool TopSort( LGraph Graph, Vertex TopOrder[] ){ /* 对Graph进行拓扑排序,  TopOrder[]顺序存储排序后的顶点下标 */    int Indegree[MaxVertexNum], cnt;    Vertex V;    PtrToAdjVNode W;       Queue Q = CreateQueue( Graph->Nv );    /* 初始化Indegree[] */    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)        Indegree[V] = 0;    /* 遍历图，得到Indegree[] */    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)        for (W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next)            Indegree[W->AdjV]++; /* 对有向边<V, W->AdjV>累计终点的入度 */    /* 将所有入度为0的顶点入列 */    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)        if ( Indegree[V]==0 )            AddQ(Q, V);    /* 下面进入拓扑排序 */     cnt = 0;     while( !IsEmpty(Q) ){        V = DeleteQ(Q); /* 弹出一个入度为0的顶点 */        TopOrder[cnt++] = V; /* 将之存为结果序列的下一个元素 */        /* 对V的每个邻接点W->AdjV */        for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next )            if ( --Indegree[W->AdjV] == 0 )/* 若删除V使得W->AdjV入度为0 */                AddQ(Q, W->AdjV); /* 则该顶点入列 */     } /* while结束*/    if ( cnt != Graph->Nv )        return false; /* 说明图中有回路, 返回不成功标志 */     else        return true;}