最小生成树算法（prim&kruskal）

无向连通图 G = (V, E)的生成树是它的极小连通子图：连接了图中所有的顶点，有保持图连通的最少的边，且不包含回路（最少的边这一条件已经隐含了不含回路的性质，同时，生成树是一种树，也是不允许有回路的）。在所有的生成树中，权值最小的树就是最小生成树（minimum spanning tree）。由最小生成树的性质可知，它的边数比顶点数小一，而且一个图的最小生成树往往是不唯一的。

求解无向连通图的最小生成树的经典方法有两种：kruskal算法和prim算法。两个算法都是贪心思想的应用：一次生成一条安全边：

GENERIC_MST（G,W）

A← 空集

While A does not form a spanning tree

Do find an edge(u, v) thia is safe for A

A ← A  (u, v)

return A

说明一下安全边的概念。无向联通图 G = (V, E)的一个割（S,V-S）是对V的一个划分。如果边（u，v）E的一个顶点属于S，另一个属于V-S，则称（u，v）通过割（S,V-S）。如果边的集合A中没有边通过某个割，则称该割不妨害A。如果某条边的权值是通过某个割的权值最小的边，则称该边为通过这个割的一条轻边。下面给出识别安全边的规则：

设图G=（V,E）为无向连通图，设A为E的子集，包含于G德某个最小生成树中，设割（S,V-S）是G的任意一个不妨害A的割，如果（u，v）是通过割（S,V-S）的一条轻边，那么（u，v）对集合A来说是安全的。

Kruskal算法：

初始状态下生成树A是空集，每个顶点都是一棵树（一个连通分支），然后每次都将图中连接两个不同的连通分支的最小权边加入到A中，然后合并两个两个连通分支，直到图中的所有顶点都属于同一个连通分支。

算法的描述挺简单，但是有两个问题需要解决：

1.如何判断两个顶点是否属于不同的连通分支？

《算法导论》中关于该部分的论述使用了不相交集合数据结构。我在实现的时候使用一个标志数组array，长度为|V|，依次对应图中的每个顶点。array[i]、array[j]不同表示顶点i和顶点j属于不同的连通分支，合并操作也很简单，将array中和array[i]相同（表示位于同一连通分支）的元素值置为array[j]，这样就将顶点i所在的连通分支与j所在的分支合并。

2.如何找出属于不同连通分支的最小权边？

最直接的方法是遍历图中的所有边，找出两端处于不同的分支且权最小的边。也可以使用排序算法对边按长度进行排序。

3.如何记录生成树?

  可以为每个顶点增加一个parent域，记录在生成树中它的父母。比如边（u，v）添加到A中，那么v的parent域就设为u。

Prim算法：

初始状态A包含任意一个顶点r，从r开始，每次都向A中添加一条连接树A和G=（V,A）中某个孤立顶点的轻边，直至生成树A包含了图中所有的顶点。

有效实现该算法的关键是设法较容易地选择一条轻边。我们可以借助最小优先级队列。

图中的顶点可以分为两类，一类是在A中的，已经纳入最小生成树了，另一种是不在A中的，记为B，对于这些顶点，我们需要保存它们与A中的某个顶点相连的边中的最小权值。最小优先级队列保存的就是B（尚未纳入最小生成树）中的顶点以及它们与A中某个顶点相连的边中的最小权值。   每次队首出队，设新加入A的顶点为V，那么我们要修改V的邻接点中尚未在A中（在最小优先级队列）的且与A中顶点相连的边的最小权值（比较拗口）。另外，为了记录生成树，和Kruskal算法一样，我们需要增加parent域。

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