C++记忆化搜索算法与动态规划算法之公共子序列

公共子序列

Description

我们称序列Z = < z₁, z₂, ..., z_k >是序列X = < x₁, x₂, ..., x_m >的子序列当且仅当存在 严格上升 的序列< i₁, i₂, ..., i_k >，使得对j = 1, 2, ... ,k, 有x_ij = z_j。比如Z = < a, b, f, c > 是X = < a, b, c, f, b, c >的子序列。

现在给出两个序列X和Y，你的任务是找到X和Y的最大公共子序列，也就是说要找到一个最长的序列Z，使得Z既是X的子序列也是Y的子序列。

Input

输入包括多组测试数据。每组数据包括一行，给出两个长度不超过200的字符串，表示两个序列。两个字符串之间由若干个空格隔开。

Output

对每组输入数据，输出一行，给出两个序列的最大公共子序列的长度。

Sample Input

abcfbc         abfcabprogramming    contest abcd           mnp

Sample Output

420

解题

看到这道题的时候，我发现这道题可以用3种方案，分别是深搜(TLE)、动态规划(AC)、记忆化搜索(AC)。

方法I:深搜

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;string x,y;int lenx,leny,maxn;void dfs(int s,int t,int g){if(t>=lenx||g>=leny) return ;for(int i=t;i<lenx;i++){int j;for(j=g;j<leny;j++)if(x[i]==y[j])break;if(j==leny) continue;dfs(s+1,i+1,j+1);if(s>maxn) maxn=s;}}main(){while(cin>>x>>y){maxn=0;lenx=x.length();leny=y.length();dfs(1,0,0);cout<<maxn<<endl;}}

方法II:动态规划

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int ans,A[201][201],lenx,leny,flag[201][201];string x,y;void DP()  {    memset(A,0,sizeof(A));    for(int i=1;i<=lenx;++i)  flag[i][0]=1;     for(int i=1;i<=leny;++i)          flag[0][i]=-1;    for(int i=1;i<=lenx;++i)          for(int j=1;j<=leny;++j)          {            if(x[i-1]==y[j-1])             {                A[i][j]=A[i-1][j-1]+1;                flag[i][j]=0;            }            else if(A[i-1][j]>=A[i][j-1])              {                A[i][j]=A[i-1][j];                flag[i][j]=1;            }            else            {                A[i][j]=A[i][j-1];                flag[i][j]=-1;            }        }}void print(int x,int y)  {    if(!x&&!y)        return ;    if(flag[x][y]==0)      {        print(x-1,y-1);        ans++;    }    else if(flag[x][y]==1)          print(x-1,y);    else         print(x,y-1);}int main()  {    while(cin>>x>>y)      {ans=0;        lenx=x.size();        leny=y.size();        DP();        print(lenx,leny);        printf("%d\n",ans);    }} 

方法III:记忆化搜索

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;string x,y;int lenx,leny,A[201][201];int search(int i,int j){if(A[i][j]+1) return A[i][j];if(!i&&!j){if(x[i]==y[j])return A[i][j]=1;elsereturn A[i][j]=0;}if(!i){for(int k=j;k>=0;k--)if(x[i]==y[k])return A[i][j]=1;return A[i][j]=0;}if(!j){for(int k=i;k>=0;k--)if(x[k]==y[j])return A[i][j]=1;return A[i][j]=0;}if(x[i]==y[j]) return A[i][j]=1+search(i-1,j-1);else return A[i][j]=max(search(i,j-1),search(i-1,j));}int main(){while(cin>>x>>y){memset(A,-1,sizeof(A));cout<<search(x.length()-1,y.length()-1)<<endl;}}

通过这道题我们可以发现，其实记忆化搜索和动态规划的关系就像递归和递推的关系一样，大多数时候可以相互转换。