BZOJ 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy——斜率优化

BZOJ 1010

第二道斜率优化，对斜率优化有了新的理解。开心（大雾

这题的题面其实就是在说  斜率优化！斜率优化！斜率优化！

好吧就是道裸题

我们考虑更新f[i]时选择的节点

如果k比j更优

则有：

f[j]+(j-i+sum[i]-sum[j]-L)^2<f[k]+(L+k-i+sum[i]-sum[k]-L)^2

f[j]+(sum[i]-sum[j])^2-2*(i-j+L)*(sum[i]-sum[j])+(i-j+L)^2<f[k]+(sum[i]-sum[k])^2+2*(i-k+L)*(sum[i]-sum[k])+(i-k+L)^2

令t1=i-j+L,t2=i-k+L;

f[j]+(sum[i]-sum[j])^2-2*t1*(sum[i]-sum[j])+t1^2<f[k]+(sum[i]-sum[k])^2-2*t2*(sum[i]-sum[k])+t2^2

f[j]-f[k]+(sum[i]-sum[j])^2-(sum[i]-sum[k])^2+t1^2-t2^2<2*sum[i]*(sum[k]-sum[j]+k-j)

f[j]-f[k]+(sum[i]-sum[j])^2-(sum[i]-sum[k])^2+t1^2-t2^2)/(2*sum[k]-sum[j]+k-j)<sum[i]

。。别看这个公式很烦，其实你如果用Sum[i]去表示sum[i]+i的话很方便，只是这里我写的严谨了点

嗯、、Sum[i]表示的话，公式如下

(f[j]-f[k]+(sum[j]+l)^2+(sum[k]+l)^2)/(2*(sum[k]-sum[j])<sum[i]

好了就是这样

考虑这个东西是个斜率式子，我们要求最小值，所以斜率不可能递减

为什么？因为递减的话你还不如直接从上一个位置更新过来

所以我们可以根据这个性质，维护一个下凸壳

顺便一说，如果是要最大值，则要维护上凸壳

补：

突然发现忘记放代码了。。。。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>#include <algorithm>#include <queue>#include <string>#include <map>#include <set>#include <cstring>#include <ctime>#include <vector>#define inf 1e9#define eps 1e-9#define iter multiset<ll>::iterator #define ll long long#define maxn 20010#define For(i,j,k) for(ll i=j;i<=k;i++)#define Dow(i,j,k) for(ll i=k;i>=j;i--)using namespace std;inline void read(ll &tx){   ll x=0,f=1;char ch=getchar();   while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}  while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}  tx=x*f; }inline void write(ll x){    if (x<0) putchar('-'),x=-x; if (x>=10) write(x/10);   putchar(x%10+'0');  }inline void writeln(ll x){write(x);puts("");}ll n,l,a[100001],q[100001],L,R,f[100001];inline ll sqr(ll x){return x*x;}inline double get(ll y,ll x){return (double)(f[x]-f[y]+sqr(a[x]+l)-sqr(a[y]+l))/(2.0*(a[x]-a[y]));}int main(){read(n);read(l);l++;For(i,1,n)read(a[i]);For(i,1,n)a[i]+=a[i-1]+1;L=R=1;q[1]=0;For(i,1,n){while(L<R&&get(q[L],q[L+1])<=a[i])L++;f[i]=f[q[L]]+sqr(a[i]-a[q[L]]-l);while(L<R&&get(q[R-1],q[R])>get(q[R],i))R--;q[++R]=i;}writeln(f[n]);}