【BZOJ 1010】【HNOI2008】玩具装箱toy 【斜率优化】

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4

3

4

2

1

4

Sample Output

1

---

看到题后很容易想到O(n2)的 算法。

dp[i]:考虑到i的最优答案
sum[i]:前缀和

容易得出DP方程为

dp[i]=min(dp[i],dp[j]+(i−j−1+sum[i]−sum[j]−L)2)|1<=j<i

如果就按照这个递推方程写的话那么就会TLE。
这里用到了一种称为斜率优化的dp优化技巧。
令 f[i]=sum[i]+i,C=1+L
则 dp[i]=min(dp[j]+(f[i]−f[j]−c)2)

证明决策单调性^[1]

假设在状态i处的k决策优于j决策，即

dp[k]+(f[i]−f[k]−c)2<=dp[j]+(f[i]−f[j]−c)2

则对于i后的所有状态t，要证明决策单调性

即

dp[k]+(f[t]−f[k]−c)2<=dp[j]+(f[t]−f[j]−c)2

只要证

dp[k]+(f[i]+v−f[k]−c)2<=dp[j]+(f[i]+v−f[j]−c)2

只要证

dp[k]+(f[i]−f[k]−c)2+2∗v∗(f[i]−f[k]−c)+v2<=dp[j]+(f[i]−f[j]−c)2+2∗v∗(f[i]−f[j]−c)+v2

只要证

2∗v∗(f[i]−f[k]−c)<=2∗v∗(f[i]−f[j]−c)

即f[k]>=f[j]（显然）

证毕。

求斜率方程

因为

dp[k]+(f[i]−f[k]−c)2<=dp[j]+(f[i]−f[j]−c)2

展开

dp[k]+f[i]2−2∗f[i]∗(f[k]+c)+(f[k]+c)2<=dp[j]+f[i]2−2∗f[i]∗(f[j]+c)+(f[j]+c)2

即

dp[k]−2∗f[i]∗(f[k]+c)+(f[k]+c)2<=dp[j]−2∗f[i]∗(f[j]+c)+(f[j]+c)2

即

(dp[k]−dp[j]+(f[k]+c)2−(f[j]+c)2)/2∗(f[k]−f[j])<=f[i]

f[i]是单调递增的，我们使用队列维护一个下凸壳，每次取出队头作为决策

加入决策i时，令队尾为q[r]，前一个为q[r-1]

满足斜率(q[r],i)<斜率(q[r-1],q[r])时，显然队尾是无效的，将其弹出

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define N 50005int n,L;typedef long long ll; ll dp[N],f[N],que[N],C;double slope(int x,int y){    return (dp[x]-dp[y]+(f[x]+C)*(f[x]+C)-(f[y]+C)*(f[y]+C))/(2.0*(f[x]-f[y]));}int main(){    scanf("%d%d",&n,&L);C = L+1;    for(int i=1;i<=n;i++)        scanf("%lld",&f[i]),f[i]+=f[i-1];    for(int i=1;i<=n;f[i]+=i,i++);    int front = 0,tail = 0;    for(int i=1;i<=n;i++){        while(front<tail&&slope(que[front],que[front+1])<f[i])front++;          dp[i] = dp[que[front]]+(f[i]-f[que[front]]-C)*(f[i]-f[que[front]]-C);        while(front<tail&&slope(que[tail-1],que[tail])>slope(que[tail],i))tail--;        que[++tail]=i;    }    printf("%lld",dp[n]);       return 0;}

orz.slope()函数里面的+打成了*结果我静态查错看了好久没看出来..

这份代码太丑不能看orz..

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define N 50005int n,L;typedef long long ll; ll dp[N],f[N],que[N],C;/*double slope(int x,int y){    return (dp[x]-dp[y]+(f[x]+C)*(f[x]+C)-(f[y]+C)*(f[y]*C))/(2.0*(f[x]-f[y]));}*/double slope(int a,int b){    return (dp[a]-dp[b]+(f[a]+C)*(f[a]+C)-(f[b]+C)*(f[b]+C))/(2.0*(f[a]-f[b]));}int main(){    scanf("%d%d",&n,&L);C = L+1;    for(int i=1;i<=n;i++)        scanf("%lld",&f[i]),f[i]+=f[i-1];    for(int i=1;i<=n;f[i]+=i,i++);    int front = 0,tail = 0;    for(int i=1;i<=n;i++){//#define DBG#ifdef DBG        cout<<i<<"->Slope :" <<slope(que[front],que[front+1])<<endl;#endif        while(front<tail&&slope(que[front],que[front+1])<f[i]){            front++;#ifdef DBG            cout<<"HeadChanged:"<<front<<endl;#endif                              }        dp[i] = dp[que[front]]+(f[i]-f[que[front]]-C)*(f[i]-f[que[front]]-C);#ifdef DBG            cout<<"dp["<<i<<"]:"<<dp[i]<<endl;#endif        while(front<tail&&slope(que[tail-1],que[tail])>slope(que[tail],i)){            tail--;#ifdef DBG            cout<<"TailChanged:"<<tail<<endl;   #endif        }        que[++tail]=i;#ifdef DBG        cout<<"QueueBegin"<<endl;        for(int i=front;i<=tail;i++)            cout<<que[i]<<" ";        cout<<"End"<<endl;#endif    }    printf("%lld",dp[n]);       return 0;}

---

Reference:

[1] http://hzwer.com/2114.html
[2] http://blog.csdn.net/The_useless/article/details/53044311
[3] JSOI2009集训队论文《用单调性优化动态规划》[Page10]里的论文题