【知识】组合数学

    组合数学，像数论一样是发源自数学的恶心东西，在计算机上更是与取余成为结发夫妻，与DP和数论的关系也不一般。更因为计算机令人惊骇的枚举耐心，出现了更加可怕的变种题目。好了，现在进入正题。

    1.计数原理（我不愿多说了）

    1）加法原理 2）乘法原理 3）抽屉原理 4）容斥原理

    尴尬事实：

    加法原理和乘法原理——基本不会单考...

    抽屉最多是你在草稿纸里的证明步骤...

    容斥可以单独考但大多还是会和素数、DP或组合数一起考，让人恶心...

    2.组合数（总是要打表...）

    1）阶乘法：

    根据组合数公式：C(n,m)=n!/m!/(n-m)!，在需要组合数不多（例如只求一个）且精度在整形、长整形或无符号长整形中可以存下这个阶乘便可以使用，可以先将大于n/2的m转换一下就可以较快求出了。有时除法又可以结合逆元（只不过不太好用就是了，老是不互质就很尴尬了）（O(n)：1+空间1）

    2）杨辉三角法：

    根据组合数公式：C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，可以很轻松地求出一大批组合数，只要n、m不会太大就可以很方便地求出来，一次性求出很多组合数，但有些占用内存，而且如果组合数用的不多会很亏。不过还是最常用的方法，因为杨辉三角只涉及到加法，取余很容易，不需很麻烦。（O(n^2)：n^2+空间n^2）

    3）Lucas定理法：

    根据组合数公式：C(n,m)%p（p为质数）=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p ，可以快速求出组合数取余并不用担心溢出，但只适用于p很小并且n、m大于p时，例如n、m上限为1e9，p上限为1e5之类。但通常需要配合阶乘法或杨辉三角法求出小一些的组合数，较为复杂。预处理：O(p^2)+求值：O(log(n,p))：1+空间：p^2

    4）特殊情况：

    有时候组合数和数论一起考的话，可以用分解质因数后质因子的次数来表示这一个组合数，用来判断倍数很有效

    3.组合数学DP

    如果你还不知道这是什么，请点击湫秋系列故事——安排座位，然后就会理解这种题的恶心之处了。组合数学DP像这种需要很牛的思维，计算方案一定要不重不漏，例如这道题所有方案都要考虑，不能以为只有插在正常序列才是合法的，有可能刚好插在不合法孔中反而让它变成了合法序列都是要考虑的。还有A Famous Stone Collector也是如此。但也不多说了，还是看看下面的经典组合问题吧！

    4.盒子与小球

    接受盒盒与球球的制裁吧！

    1）给你k个小球放入n个盒子，小球全都相同，盒子全都不同，盒子可为空，求方案总数，难度系数★★☆

    考虑如下方程，解的个数即为答案

    X1+X2+X3+...+Xn=k（Xi∈N）

    将所有X加上1变成Y，答案不变

    Y1+Y2+Y3+...+Yn=k+n（Yi∈N*）

    由于考虑顺序，所以就类似于某个经典问题——小球挡板，用挡板法可得解为

   C(k+n-1,n-1)

    2）给你k个小球放入n个盒子，小球全都不同，盒子全都相同，盒子可为空，求方案总数，难度系数★★★

    裸的斯特林数还用说什么（当然要说不那么裸就将盒子里先垫上几个虚假的球使盒子不能为空）

   S(k+n,n)

    3）给你k个小球放入n个盒子，小球全都不同，盒子全都不同，盒子可为空，求方案总数，难度系数★★★★

    其实在第2问后就显得很简单了，只需要把盒子随机乱排即可

    S(k+n,n)*n!

    4）给你k个小球放入n个盒子，小球全都相同，盒子全都相同，盒子可为空，求方案总数，难度系数★★★★★

    整数的分解型题，DP解

    P(i,j)表示i个球放入j个盒子方案数

    P(i,j)=sum(P(i-j,k))(1<=k<=j)

    P(1,1)=1

    然后一样的将盒子全都垫上一个球

    解为

    P(k+n,n)

    5.注意事项

    1）精度

    通常关于组合数学的题都会出现极大的答案，所以通常会模一个数，而在模之前（非常）有可能会出现乘法溢出，所以要实现估计好使用的精度，是用int（其实基本上都会爆）、long long（还好，但也必须步步模）还是unsigned long long（其实也很少用）必须要准。

    2）内存

    像是杨辉三角之类的表什么的很容易爆掉内存，必须在使用时尽量不触犯内存上限，例如可以C(n,n/2-k）就不要C(n,n/2+k）什么的。

    3）除法

    要知道取余最忌讳除法了，不然就只能用逆元很让人伤脑筋。不是因为逆元难求，而是因为求逆元有可能根本就没有逆元，即便是对素数的逆元，也不见得就有（可能这个数本身是被取余数的倍数）。要谨慎使用逆元！