HDU 4543|三足鼎立|曼哈顿距离|二分答案

三足鼎立

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Problem Description

　　“纷纷世事无穷尽，天数茫茫不可逃。鼎足三分已成梦，后人凭吊空牢骚。”

　　三国的各种传奇故事被千百年传诵，为人们津津乐道。魏、蜀、吴三个势力相互制约，同时也相互利用，“三”的神奇和精妙尽在其中。于是，这个问题也是关于“三”的。

　　在一个N×M的地图上，两个点(x1, y1)和(x2, y2)之间的距离被定义成曼哈顿距离，魏、蜀、吴三个势力要在这个地图上分别选择自己的据点。由于地图上某些点已经被其他势力占据，为了避免不必要的冲突，他们希望自己的据点与其他被占据的点都可以保持一定的距离，包括他们三个势力据点的相互距离，也要满足约束。

　　现在，三个势力不可思议的开了一次首脑峰会，商谈据点的安排问题。你，作为一个像鲁肃大师一样爱好和平的外交家，要给出最大的限制距离，使得至少有一种安排方案满足条件。

Input

输入第一行为T，表示有T组测试数据。
每组数据以两个整数N和M开始，表示地图的规模。接下来的N行，每一行包含一个长度为M的字符串，表示地图，‘.’表示空地，’F’表示这里已被其他势力占据。地图至少有三个空格以供选择。

[Technical Specification]
1. 1≤T≤74
2. 1≤N,M≤74

Output

对每组数据，先输出为第几组数据，然后输出最大限制距离。

Sample Input

24 4F...............4 4F..F........F..F

Sample Output

Case 1: 3Case 2: 1

Hint

第一组样例中，他们可以约定依次选择 (1, 4), (4, 1), (4, 4) 作为据点，这样两两之间的距离都为3，到 (1, 1) 的最小距离也是3，是一种最优的选择。

Solution

对于这种最大化XX的最小值的问题很容易联系到二分答案。
接下来我们考虑如何判定答案是否合法。
1. 既然我们已知了各点间的最小距离，我们就可以处理出地图内哪些点是可以安排据点的。考虑到NM≤5500，我们可以猜测出一种可行的时间复杂度O((nm)2)，这只允许我们枚举两个据点快速推出第三个据点，或者是枚举一个据点，通过扫一遍棋盘的方式找出后两个据点。
2. 我们再来考虑曼哈顿距离，曼哈顿距离的题目可以通过旋转棋盘45°的方式转化，即在原棋盘上的一个点(x,y)，变换为新棋盘上的点(x+y,x-y)，我们用(a,b)代替，那么原来两个点(x1,y1),(x2,y2)的距离|x1−x2|+|y1−y2|，就有

===(x1−x2)+|y1−y2|max{(x1−x2)+(y1−y2),(x1−x2)−(y1−y2)}max{(x1+y1−x2−y2),(x1−y1−x2+y2)}max{|a1−a2|,|b1−b2|}

结果只与一些点的横坐标或一些点的纵坐标有关，我们就可以分别最大化一些点的横坐标和一些点的纵坐标，最后求最大值即可。
最大化横或纵坐标可以通过扫一遍棋盘实现。
最终的复杂度为O((nm)2log(nm))，可以卡过。。。
当然也可以数据结构维护这些值，可以使复杂度少掉一个nm，但我还是不会。。。

#include <cstdio>#include <algorithm>typedef long long ll;const int inf = 0x7ffffff;using namespace std;#define FOR(i,j,k) for(i=j;i<=k;++i)const int N = 128;int n, m, dis[N][N];char mp[N][N];// compute manhattan distance between (x, y) and (i, j)inline int manhattan(int x, int y, int i, int j) {    return abs(x - i) + abs(y - j);}// t - minimum manhattan distancebool judge(int t) {    int i, j, k, l, x, y, xl, xr, yl, yr, cnt;    FOR(i,1,n) FOR(j,1,m) if (dis[i][j] >= t) {        cnt = 0; xl = yl = inf; xr = yr = -inf;        FOR(k,1,n) FOR(l,1,m) if (dis[k][l] >= t && manhattan(k, l, i, j) >= t) {            ++cnt; x = k + l; y = k - l;            // in order to acquire maximum distance, we need to maximize xr, yr and minimuize xl, yl.            xl = min(xl, x); xr = max(xr, x);            yl = min(yl, y); yr = max(yr, y);        }        if (cnt > 1)            if (max(xr - xl, yr - yl) >= t)                return true;    }    return false;}int main() {    int t, kase, i, j, x, y, l, r, mid, ans;    scanf("%d", &t);    FOR(kase,1,t) {        scanf("%d%d", &n, &m);        FOR(i,1,n) scanf("%s", mp[i] + 1);        FOR(i,1,n) FOR(j,1,m) dis[i][j] = mp[i][j] == 'F' ? 0 : inf;        // compute distances between F and .        FOR(i,1,n) FOR(j,1,m) if (mp[i][j] == 'F')            FOR(x,1,n) FOR(y,1,m) if (mp[x][y] == '.')                dis[x][y] = min(dis[x][y], manhattan(i, j, x, y));        // binary search the answer        for (l = 1, r = n + m, ans = 0; l < r; ) {            mid = l + r >> 1;            if (judge(mid)) ans = mid, l = mid + 1;            else r = mid;        }        printf("Case %d: %d\n", kase, ans);    }    return 0;}