Q119：PBRT-V3，“复合重要性采样”（13.10章节）

之前在学习《Ray Tracing From The Ground Up》时，有总结过“蒙特·卡罗积分”：
Q73：蒙特•卡罗积分（Monte Carlo Integration）

后文内容，主要参考PBRT-V3的13.10章节。

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一、重要性采样

对于积分：

Monte Carlo estimator:

“重要性采样”就是根据f(x)的值来调整p(x)的概率分布。
也就是说：f(x)值大的地方，就多采几个点；f(x)值小的地方，就少采几个点。
（f(x)值大的地方说明：这个地方的x对积分结果的贡献大，所以要多采几个点）

p(x)的概率分布和f(x)的值越是接近，Monte Carlo estimator计算的结果越精确。

如果不是“重要性采样”，会怎么样呢？

不是“重要性采样”，也就是说：
case 1，f(x)值大的地方，p(x)的概率分布小；
case 2，f(x)值小的地方，p(x)的概率分布大；

回头看看Monte Carlo estimator，累加的单项是：f(x)/g(x)
“重要性采样”的情况是：大/大+小/小

不是“重要性采样”的情况是：大/小+小/大

问题来了，“大/小”会得到一个很大的值，使得整体的方差增大；
“小/大”会得到一个很小的值，也使得整体的方差增大；

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前面的内容只是为了说明一点：
p(x)的概率分布和f(x)的值差异越小，计算的结果越精确；
p(x)的概率分布和f(x)的值差异越大，计算的结果越不精确；

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二、复合“重要性采样”

对于这种积分：

怎么采样呢？

f(x)和g(x)都有各自的“重要性采样”对应的概率分布。
f(x)g(x)是用哪一个对应的概率分布进行采样呢？
（假设f(x)g(x)乘积的结果不便采样）

不管用哪一个对应的概率分布，对另一个来说可能都不是“重要性采样”，所以，都会导致计算结果方差增大。

在这种情况下，比较容易想到：
分别用f(x)、g(x)对应的概率分布采样求出两个值，然后对这两个值求平均。
（不好！因为“两个值”的方差都很大，“求平均”并不能消除方差）

“复合重要性采样”的策略是：

不是“分别用f(x)、g(x)对应的概率分布采样求出两个值，然后对这两个值求平均。”
而是“在分别用f(x)、g(x)对应的概率分布采样求积分的过程中，分别乘以各自的权系数”。

权系数函数怎么确定呢？

有个被称为“balance heuristic”的函数是个不错的选择：

这个函数“不错”的原因是：
“分母”的式子“所有可能分子”的累加。
这样，一方面保证所有权系数的和为1；另一方面每一项中都考虑了所有其他项的概率分布。

将这个函数代入前面“复合重要性采样”的式子的第一项：

只要f(x)、g(x)分别对应各自的“重要性采样”，即：

f(x)大，pf(x)大；f(x)小，pf(x)小；g(x)大，pg(x)大；g(x)小，pg(x)小；

这样，前面的式子的值只有如下几种情况：

（大*大）/（大+大）=大/大；（大*小）/（大+小）=大/大（小/小）；（小*大）/（小+大）=小/小（大/大）；（小*小）/（小+小）=小/小；

可以看出，没有出现增大方差的情况：

大/小；小/大；

所以，最终计算的结果是比较精确的。

pbrt-v3中的代码实现:

inline Float BalanceHeuristic(int nf, Float fPdf, int ng, Float gPdf) {    return (nf * fPdf) / (nf * fPdf + ng * gPdf);}

pbrt-v3中实际使用的power heuristic（加上一个指数，对减小方差效果更好）

Veach这个哥们，根据经验发现指数=2时效果不错。
所以，在pbrt-v3中也将该指数固定为2。相关代码：

inline Float PowerHeuristic(int nf, Float fPdf, int ng, Float gPdf) {    Float f = nf * fPdf, g = ng * gPdf;    return (f * f) / (f * f + g * g);}

三、复合“重要性采样”的应用

pbrt-v3中的DirectLightingIntegrator的实现是基于“复合重要性采样”的。

如果只对f（即BSDF）进行“重要性采样”：
当遇到Ld（即Light）是delta光源（点光源只有一个点发光；平行光光源只有一个发光）时，
大部分（大概率）情况下采样点对应光线的radiance都会是0（小值），
即出现“大/小”的情况，所以计算结果方差很大。

如果只对Ld（即Light）进行“重要性采样”：
当遇到f（即BSDF)包含镜面反射时，
也会出现，
大部分（大概率）情况下采样点对应光线的radiance都会是0（小值），
即出现“大/小”的情况，所以计算结果方差很大。

综上，可能出现“意外”的情况有：

1，对BSDF采样时，遇到“小”光源，效果不好；2，对Light采样时，遇到“光滑”表面，效果不好；

借用PBRT-V3中14.3章节的图来说明“复合重要性采样”：

对BSDF进行重要性采样时，遇到“大”光源，效果还可以：对比a、c图中的绿色框标注部分。对Light进行重要性采样时，遇到“粗糙”表面，效果还可以：对比b、c图中的红色框标注部分。

对BSDF和Light进行“复合重要性采样”时，效果最好！！！！！！！！

另外，分别采样时，针对的采样对象可以不一样。
比如：
对Light采样时，是针对“面积”；
对BSDF采样时，是针对“立体角”。