Q137：PBRT-V3，各种采样（Sampling）之间的逻辑

文章内容是小编个人当前对PBRT-V3的理解，可能和实际有偏差。

一、概述

PBRT-V3中最直观最常用到采样的地方有：
采样0，对单位正方形进行采样；
采样1，对Film上的每个像素点进行多次采样；
采样2，对交点处的BSDF进行采样；
采样3，对具体光源进行采样；
采样4，从所有光源中随机选取一个光源；

另外一个不怎么常用到的采样是：
采样5，Metropolis Sampling（这个是用在MLT Integrator中）

二、采样0，对单位正方形进行采样

对单位正方形进行采样，是为了从单位正方形上获取一个采样点。

“单位正方形采样”的方式很多，如上图所示的包含三种采样方式：随机采样；均匀分层采样；抖动分层采样。
按照PBRT-V3上介绍的相关采样方式有：RandomSampler, StratifiedSampler, HaltonSampler, ZeroTwoSequenceSampler, MaxMinDistSampler, SobolSampler, ……
（不同的采样方式之间的区别在于：采样点在单位正方形上的分布不一样）。

二、采样1，采样2，采样3

采样1，对Film上的每个像素点进行多次采样；
采样2，对交点处的BSDF进行采样；
采样3，对具体光源进行采样；

涉及这三种采样的情况如下方图示：

2.1 采样1，对Film上的每个像素点进行多次采样

这个是给定一个像素点位置，然后在该像素点所在的单位正方形进行采样，获取采样点。（即：“采样1”是直接使用“采样0”）

相关代码截图：

然后，连接相机位置和Film上采样点的位置，生成一条光线进入场景。

2.2 采样2，采样3

采样2，对交点处的BSDF进行采样；
采样3，对具体光源进行采样；

光线进入场景后，和场景中的物体发生碰撞，产生交点。
从这个交点返回给相机的光怎么计算呢？渲染方程：

其中，“f”就是BSDF的采样值；“L”就是光源的采样值。
求解这个积分的方式是通过Monte Carlo积分。
为了使求解过程快速收敛，求解结果（相对）精确，则要求按照“重要性采样”获取采样点。
如果“f”和“L”都需要采样的话，那就是“复合重要性采样”。
参考：Q119：PBRT-V3，“复合重要性采样”（13.10章节）

关于“复合重要性采样”后续参考如上链接即可。
咱先看看怎么分别对“f”和“L”进行“重要性采样”。

2.2.1 采样2，对交点处的BSDF进行采样

对“f”（即BSDF）进行重要性采样，也就是对以交点为球心的单位上半球进行重要性采样。
其实，对单位上半球进行采样的方式，只需要将“采样0”中对单位正方形的采样点直接映射过来即可。
但是，怎么体现“重要性”呢？
考虑到渲染方程中的，明显“重要性”有这个cos值决定。
所以，对“f”的重要性采样是：将“采样0”中对单位正方形的采样点按照cos值的分布映射到上半球上即可。

2.2.2 采样3，对具体光源进行采样

考虑到面积光源可能是各种几何形状，则需要针对具体的几何形状进行采样。
怎么体现“重要性”呢？
和“2.2.1”中一样，重要性通过cos值（当然，有的几何体并没有直接相关的cos值，另做考虑吧。但是，一定是要体现“重要性”的）。
所以，
具体做法和“2.2.1”类似：将“采样0”中对单位正方形的采样点按照cos值的分布映射到相应的几何体上即可。

三、采样4，从所有光源中随机选取一个光源；

从所有光源中采样出一个光源，也得体现“重要性”。
怎么体现这个“重要性”呢？
根据光源的能量大小进行采样。即，能量大的光源被采样到的概率大；能量小的光源被采样到的概率小。
这就涉及到了一个通用而又强大的知识点啦：根据给定概率分布进行采样。（这个就是PBRT-V3中13.3章节的内容）

插播一句：
“采样0”是“均匀采样”（这里的“均匀”指的是采样点出现的概率相等，而不是空间分布均匀）；
“采样1”和“采样2”都是通过“采样0”映射来得到采样点。如果采样过程体现了“重要性”，则采样点出现的概率和cos值相关。如果采样过程没有体现“重要性”，则采样点出现的概率是均等的（即为“均匀采样”）

“根据给定概率分布进行采样”，明显就不是“均匀采样”啦，而且采样点出现的概率不像“采样1”、“采样2”中只是简单地和cos值相关。
对于“根据给定概率分布进行采样”，采样点出现的概率要复杂得多，所有采样点出现的概率必须符合给定的概率分布。

根据给定概率分布获取采样的方法：
法一，the inversion method （反演法）；
法二，the rejection method （拒绝法）；
法三，Metropolis sampling；

3.1 法一，the inversion method （反演法）

反演法的步骤：

第一步：计算给定概率分布的“累积概率分布”（也就是求给定概率分布的积分）；
第二步：计算“累积概率分布”的反函数；
第三步：获取一个均匀分布的随机数（可以通过“采样0”来获取。“采样0”提供的单位正方形上的二维点。这里需要的是更为简单的一维随机数，可以通过“采样0”中的Get1D()获取）
第四步：将均匀分布的随机数代入累积概率分布的反函数，即获得给定概率分布的一个采样点。（将该采样点的坐标代入原概率分布，可以求得该采样点出现的概率）。

从这些求解步骤中发现，可以用反演法来对某概率分布进行采样的前提是：
1，该概率分布的积分可求（容易求）；
2，该概率分布的积分的反函数可求（容易求）；

当然，会有很多概率分布函数并不能满足如上这两个条件。
先不管，咱先看看哪些常见的概率分布是满足这两个条件的，可以用反演法来进行采样。
分布1：Power Distribution（）；
分布2：Exponential Distribution（）；
分布3：Piecewise-Constant 1D Functions（）；
对于这三种分布的具体计算过程，此处不表。
值得指出的是：
第一点：所有光源的能量的分布符合“分布3”（一维阶梯分布），所以可以用反演法来对光源的能量分布进行采样，从而实现“从所有光源中随机获取一个光源”（能量大的光源被采样到的概率大；能量小的光源被采样到的概率小）；
第二点：对于“分布2”，其实是包含“正态分布”的。后续Metropolis采样过程的“变异函数”一般选择的就是“正态分布”函数。

3.2 法二，the rejection method （拒绝法）

前面已经提到，“反演法”对概率分布函数有两个条件：
1，该概率分布的积分可求（容易求）；
2，该概率分布的积分的反函数可求（容易求）；

对于不满足这两个条件的概率分布函数，应该怎么进行采样呢？

可以考虑“拒绝法”，对应PBRT-V3中13.3.2章节。

由于这种方法简单粗暴、效率不高，此处不表。

3.3 法三，Metropolis sampling

前面已经提到，“反演法”对概率分布函数有两个条件：
1，该概率分布的积分可求（容易求）；
2，该概率分布的积分的反函数可求（容易求）；

对于不满足这两个条件的概率分布函数，应该怎么进行采样呢？

可以使用“3.2”所提的“拒绝法”。但是，“拒绝法”的效率确实不高，所以直接被否定啦。
咱还可以使用“Metropolis采样”（对应PBRT-V3中的13.4章节）。

对于“Metropolis采样”，咱先简单说明一下它是一个怎么的存在。
在此之前的所有的采样都是“独立采样”，即：任何两个采样点之间是没有任何关系的、是相互独立的。
“Metropolis采样”是“关联采样”，后一个采样点是和前一个采样点关联的。

PBRT-V3中讲述的“Metropolis采样”的算法是“Metropolis-Hastings算法”。即：

第一步：给定初始采样点X0，将X0当做当前采样点X；
第二步：对X进行变异得到“建议采样点”X’；（这个变异函数mutate()可以是任何函数，PBRT-V3中后续再介绍MLT Integrator时，使用的是正态分布函数。即，以X为中心，在X附近按照正态分布进行采样获得X’（参考“3.1”中的“分布2”）。
第三步：根据当前采样点X和建议采样点X’的函数值计算这个建议采样点X’被接受的可能性a；
第四步：（像“3.1”中一样）获取一个均匀分布的随机数。如果a比这个随机数大，则说明这次的建议采样点X’可以被接受（即，将X’作为下一次变异的X。相当于产生了一个新的采样点）；如果a不比这个随机数大，则说明这次的建议采样点X’不可以被接受（即，下一次变异的X还是这一次的X。相当于这次采样失败，没有新的采样点产生）

有木有发现？
Metropolis采样过程中只需要求概率分布中某点的概率（函数值）（第三步中），不需要求概率分布的积分，更不需要求概率分布积分的反函数。

另外，PBRT-V3中，Metropolis采样只在MLT Integrator中用到。

四、总结

总结截图如下：

图中“均匀采样”指的是“对单位正方形的采样”。

Metropolis 采样不是那么特别非常常见，所以此处没有将它总结进来。